Questão 11. (Acafe-SC) Um clube recreativo possui 800 sócios e cobra uma mensalidade de R$ 200,00 de cada sócio. Uma pesquisa de mercado indica que a cada R$ 1,00 de redução na mensalidade, há um aumento de 10 sócios. O valor da mensalidade que gera a maior receita é de:
- a) R$ 120,00
- b) R$ 60,00
- c) R$ 140,00
- d) R$ 160,00
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🔎 Variáveis envolvidas:
- Mensalidade inicial: R$ 200
- Sócios atuais: 800
- A cada R$ 1,00 de desconto, entram 10 sócios
1) Seja \( x \) o valor do desconto (em reais)
Nova mensalidade: $$ M(x) = 200 – x $$
Número de sócios: $$ S(x) = 800 + 10x $$
2) Receita mensal:
$$ R(x) = (200 – x)(800 + 10x) $$
3) Desenvolvendo a função:
$$ R(x) = 160000 + 2000x – 800x – 10x^2 $$ $$ R(x) = -10x^2 + 1200x + 160000 $$
4) Valor de \( x \) que maximiza a receita:
$$ x_v = \frac{-1200}{2 \cdot (-10)} = \frac{-1200}{-20} = 60 $$
5) Mensalidade ideal:
$$ M = 200 – x = 200 – 60 = 140 $$
✅ Conclusão:
- Mensalidade que gera maior receita: R$ 140,00
- Alternativa correta: c)
