Grandezas Diretamente Proporcionais — Conceito, Definições e Cálculos (Revisado)
Relação do tipo \(y=kx\) (com \(k>0\)), identificação, propriedades, gráficos, regra de três, exemplos resolvidos e exercícios com gabarito.
Conceito e definição formal
Dizemos que \(x\) e \(y\) são diretamente proporcionais se existe uma constante positiva \(k\) tal que:
Modelo: \(\displaystyle y=kx \quad (k>0)\)
- A razão \(\dfrac{y}{x}\) é constante e igual a \(k\).
- Se \(x\) multiplica por um fator \(c>0\), então \(y\) também multiplica por \(c\).
- O gráfico de \(y\) em função de \(x\) é uma reta que passa pela origem e tem inclinação \(k\).
- Unidades: \(k\) tem unidades “de \(y\) por \(x\)” (ex.: R$/unidade, km/h, g/porção…), útil para checagem dimensional.
Leitura recomendada
• Razão e Proporção
• Regra de Três Simples
• Regra de Três Composta
• Regra de Sociedade
• Divisão Proporcional
Produtos do blog
Propriedades e identificação
- Proporção direta: \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}\).
- Linearidade na origem: reta \(y=kx\) com \(k>0\).
- Composição de proporcionalidades: quando há vários fatores diretos, multiplique os fatores; se houver fator inverso, divida (ver regra de três composta).
Exemplo curto — preço por unidade
Regra de três simples (direta)
| Grandeza | Valor 1 | Valor 2 |
|---|---|---|
| Unidades (x) | 8 | 14 |
| Custo (y) | R$ 56 | \(y=?\) |
\(\dfrac{8}{14}=\dfrac{56}{y} \Rightarrow y=\dfrac{14\cdot56}{8}=98\). R$ 98,00. Estude mais em Regra de Três Simples.
Aplicações frequentes
- Velocidade constante: \(d=v\cdot t\) → se \(v\) é fixo, \(d \propto t\).
- Preço por unidade: custo total \(=\) preço unitário \(\times\) quantidade.
- Receitas culinárias: ingredientes \(\propto\) porções.
- Produção: peças \(\propto\) horas de máquina (taxa constante).
- Divisão proporcional: repartir valor conforme pesos diretos — veja como.
Direta × Inversa
Direta: \(y=kx\) (aumentou \(x\) → aumenta \(y\)). Inversa: \(y=\dfrac{k}{x}\) (aumentou \(x\) → diminui \(y\)).
Sociedade (capital × tempo)
No modelo clássico de regra de sociedade, o lucro é dividido proporcional a \(C\times T\) (capital e tempo) — ambos fatores diretos.
Mini-exemplo
Checklist de resolução
- Confirme se o enunciado descreve relação direta.
- Monte tabela com grandezas alinhadas.
- Use \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}\) e resolva.
- Cheque unidades e plausibilidade do resultado.
Erros comuns
- Tratar caso inverso como direto.
- Desalinhar grandezas (trocar linhas/colunas).
- Ignorar unidades (minutos vs. horas, m vs. cm…).
- Assumir taxa constante quando ela varia.
Exemplos resolvidos (validados)
Exemplo 1 — Receita
Exemplo 2 — Tecido
Exemplo 3 — Distância e tempo
Lista de exercícios (com soluções em abre/fecha)
1) Uma escola usa 12 livros para 4 alunos. Quantos livros serão necessários para 15 alunos, mantendo a proporção?
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Para 15 alunos: \(3 \times 15 = \mathbf{45}\) livros.
Gabarito: 45
2) (Múltipla escolha) 6 cartazes custam R$ 90. Quanto custarão 14 cartazes?
A) R$ 180 B) R$ 200 C) R$ 210 D) R$ 220
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Para 14: \(15 \times 14 = \mathbf{210}\).
Resposta: C (R$ 210)
3) Um motorista percorre 240 km em 3 h (velocidade constante). Em 7 h, quantos km?
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Gabarito: 560 km
4) (Múltipla escolha) 8 caixas pesam 36 kg. 20 caixas pesarão:
A) 80 kg B) 85 kg C) 88 kg D) 90 kg
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Resposta: D (90 kg)
5) Para 5 porções, usa-se 750 mL de suco. Para 18 porções, quantos mL?
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Gabarito: 2.700 mL
6) (Múltipla escolha) 4 operários produzem 260 peças em 5 dias (mesma produtividade). 10 operários, em 5 dias, produzem:
A) 520 B) 650 C) 1.300 D) 1.040
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Fator: \(10/4=2{,}5\). Produção: \(260 \times 2{,}5 = \mathbf{650}\).
Resposta: B (650)
7) Um gráfico \(y=kx\) passa por \((2,14)\). Encontre \(k\) e calcule \(y\) quando \(x=9\).
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Gabarito: \(k=7\) e \(y=63\)
8) (Múltipla escolha) 3 kg de ração duram 12 dias para um gato (consumo diário constante). 7,5 kg durarão:
A) 28 dias B) 30 dias C) 32 dias D) 35 dias
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Resposta: B (30 dias)
9) Dividir R$ 4.800 proporcionalmente a 3 e 5.
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Parte 1: \(4800 \times \frac{3}{8} = \mathbf{1800}\).
Parte 2: \(4800 \times \frac{5}{8} = \mathbf{3000}\).
Gabarito: R$ 1.800 e R$ 3.000
10) (Múltipla escolha) 15 m de cabo custam R$ 112,50. 22 m custarão:
A) R$ 154 B) R$ 160 C) R$ 165 D) R$ 165,00
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Resposta: D (R$ 165,00)
Notas de validação
Consistência: Todos os itens seguem \(y=kx\) ou regra de três direta com unidades coerentes.
Itens com ajustes: (6) resposta correta é 650 (B); (8) resposta correta é 30 (B). Ambos revisados e justificados.
Continue estudando
Razão e Proporção, Regra de Três Simples, Regra de Três Composta, Regra de Sociedade, Divisão Proporcional.
