Na teoria de conjuntos numéricos e funções, a imagem é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume. É um conceito-chave para identificar se a função é injetora, sujeitora (sobrejetora) e para resolver problemas de ENEM e concursos.

Exemplos comentados

Exemplo 1 — Diagrama da figura

Considere \(A=\{0,1,2,3\}\) e \(B=\{0,1,2,3,4,5\}\) com \(f(x)=x+1\).

Imagem: \(\{1,2,3,4\}\) (subconjunto de \(B\)).

Exemplo 2 — Função afim

Se \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) com \(g(x)=2x-3\), então \(\mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}\) (qualquer real é obtido resolvendo \(y=2x-3\Rightarrow x=\tfrac{y+3}{2}\)).

Exemplo 3 — Quadrática

\(h(x)=x^2+1=(x-0)^2+1\). Mínimo \(=1\) em \(x=0\). Logo, \(\mathrm{Im}(h)=[1,\infty)\).

Exemplo 4 — Racional

\(p(x)=\dfrac{1}{x-2}\). Não existe \(p(x)=0\). A imagem é \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Exemplo 5 — Logarítmica

\(q(x)=\ln x\) com domínio \((0,\infty)\). Sua imagem é \((-\infty,\infty)\).

Exercícios (múltipla escolha) com solução

1) Para \(f:A\to B\) com \(A=\{0,1,2,3\}\) e \(f(x)=x+1\), qual é \(\mathrm{Im}(f)\)?

1. \(\{0,1,2,3\}\)
2. \(\{1,2,3,4\}\)
3. \(\{2,3,4,5\}\)
4. \(\{0,2,3,4\}\)

2) Seja \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(g(x)=x^2-4x+5\). Determine \(\mathrm{Im}(g)\).

1. \((-\infty,\infty)\)
2. \([1,\infty)\)
3. \([5,\infty)\)
4. \((-\infty,1]\)

3) Para \(p(x)=\dfrac{1}{x-3}\) definida em \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\), a imagem é:

1. \(\mathbb{R}\)
2. \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
3. \((0,\infty)\)
4. \((-\infty,0)\)

4) Para \(q(x)=\ln(x-1)\), com domínio \(x>1\), qual é a imagem?

1. \((-\infty,\infty)\)
2. \((0,\infty)\)
3. \([0,\infty)\)
4. \((-\infty,0)\)

5) Para \(r(x)=\sqrt{4-x^2}\), a imagem é:

1. \([0,2]\)
2. \((-\infty,\infty)\)
3. \([0,\infty)\)
4. \((-2,2)\)

6) Considere \(s(x)=|x-2|\). Qual é \(\mathrm{Im}(s)\)?

1. \((-\infty,\infty)\)
2. \([0,\infty)\)
3. \((0,\infty)\)
4. \([2,\infty)\)

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