Inequações produto \(f(x)\cdot g(x)\)
Nesta página você aprende a resolver inequações do tipo \(f(x)\cdot g(x)\ \square\ 0\) (com \(\square\in\{>,\lt,\ge,\le\}\)) usando o quadro do sinal. Se for o seu primeiro contato, revise: inequações do 1º grau, sinal da função e o estudo do sinal da afim.
Passo a passo (método do sinal)
- Domínio: determine onde \(f\) e \(g\) estão definidos. A solução final nunca pode conter pontos fora do domínio.
- Zeros: calcule os pontos onde \(f(x)=0\) e \(g(x)=0\). Anote multiplicidades (se a expressão estiver fatorada).
- Monte os intervalos na reta real, separados pelos zeros (e pontos de não definição, se houver).
- Decida os sinais de \(f\) e \(g\) em cada intervalo (teste um ponto ou use a regra da multiplicidade: ímpar troca, par não troca).
- Produto: \(+\cdot +=+\), \(+\cdot -=-\), \(-\cdot -=+\). Marque “0” nos zeros correspondentes.
- Leia a solução:
- \(f\cdot g\gt 0\): mesmos sinais (intervalos com “+”), sem zeros;
- \(f\cdot g\lt 0\): sinais opostos (intervalos com “−”), sem zeros;
- \(f\cdot g\ge 0\) ou \(\le 0\): inclua os zeros (fechados).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Produto simples (>0). Resolva \((x-3)(x+1)\gt0\).
Ver solução
Zeros em \(-1\) e \(3\) (ambos ímpares ⇒ trocam). À direita de \(3\), o produto é \(+\). Alternando: \(+\) em \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\) e \(−\) em \((-1,3)\). Para \(>0\):
Solução: \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\).
Exemplo 2 — Multiplicidade par (≤0). Resolva \((x-2)^2(x+4)\le0\).
Ver solução
Zeros: \(x=2\) (par, não troca) e \(x=-4\) (ímpar, troca). Grau ímpar e coeficiente líder \(+\) ⇒ sinal \(+\) para \(x\to+\infty\). Logo: \((-\infty,-4)\): \(−\); \((-4,2)\): \(+\); \((2,\infty)\): \(+\). Com ≤0: intervalos negativos e zeros ⇒ \((-\infty,-4]\cup\{2\}\).
Exemplo 3 — ≥0 com dois fatores lineares. Resolva \((x-1)(2x+3)\ge0\).
Ver solução
Zeros: \(x=1\) e \(x=-\tfrac{3}{2}\). Sinal \(+\) para \(x\to+\infty\). Alternando: \(+\) em \((1,\infty)\), \(−\) em \((-3/2,1)\), \(+\) em \((-\infty,-3/2)\). Com ≥0, incluir zeros:
\((-\infty,-\tfrac{3}{2}]\cup[1,\infty)\).
Exemplo 4 — Coeficientes com sinal global (<0). Resolva \((\!-x-2)(x+5)\lt0\).
Ver solução
Zeros em \(-2\) e \(-5\). Teste \(x=0\): \((\!-2)\cdot 5=-10<0\) ⇒ negativo em \((-2,\infty)\). Alternando pelos zeros (ambos ímpares): negativo em \((-\infty,-5)\) e \((-2,\infty)\), positivo em \((-5,-2)\). Para <0:
\((-\infty,-5)\cup(-2,\infty)\).
Exemplo 5 — Raiz coincidente (≥0). Resolva \((x-1)^2(x+2)\ge0\).
Ver solução
Raízes: \(1\) (par, não troca) e \(-2\) (ímpar, troca). À direita é \(+\). Logo \(+\) em \((1,\infty)\) e \((-2,1)\); \(−\) em \((-\infty,-2)\). Com ≥0 e incluindo zeros: \([-\!2,\infty)\).
Quadro do sinal (Exemplo 1)
| Intervalo | \((-\infty,-1)\) | \(\{-1\}\) | \((-1,3)\) | \(\{3\}\) | \((3,\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-3\) | − | − | − | 0 | + |
| \(x+1\) | − | 0 | + | + | + |
| Produto | + | 0 | − | 0 | + |
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Exercícios propostos (com gabarito)
1) Resolva \((x-4)(x+2)\le0\).
Gabarito
Zeros: \(-2\) e \(4\). Sinais alternam; ≤0 ⇒ entre os zeros e incluindo-os: \([-2,4]\).
2) Resolva \((x-5)^2(x-1)\lt0\).
Gabarito
Raízes: \(5\) (par, não troca) e \(1\) (ímpar, troca). À direita é \(+\). Logo o produto é negativo apenas em \((-\infty,1)\). Como <0, não inclui zeros: \((-\infty,1)\).
3) Resolva \((2x-3)(x+4)\ge0\).
Gabarito
Zeros: \(x=\tfrac{3}{2}\) e \(-4\). ≥0 ⇒ \((-\infty,-4]\cup[\tfrac{3}{2},\infty)\).
4) Resolva \((x+1)(x+3)(x-2)\gt0\).
Gabarito
Zeros: \(-3,-1,2\). Grau ímpar com coeficiente \(+\) ⇒ \(+\) à direita. Alternando: \(+\) em \((-\infty,-3)\), \(−\) em \((-3,-1)\), \(+\) em \((-1,2)\), \(−\) em \((2,\infty)\)? Cuidado: começando em \(+\) à direita, indo para a esquerda alterna: \((2,\infty):+\); \((-1,2):-\); \((-3,-1):+\); \((-\infty,-3):-\). Para >0: \((-3,-1)\cup(2,\infty)\).
5) Resolva \((x-2)^2(x+3)^2\le0\).
Gabarito
Produto de quadrados é \(\ge0\) para todo \(x\), zerando em \(x=2\) e \(x=-3\). Para ≤0: \(\{-3,2\}\).
