ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 47 — Trigonometria
Considere a função real
\[
f(x)=\cos x\;\big[\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)+2\sin x\big]-\sin x\;\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-2,
\]
definida no intervalo \(I=\,]-4\pi,\,4\pi[\). Sobre a equação \(f(x)=0\), podemos afirmar que
a) não admite soluções em \(I\).
b) admite uma única solução em \(I\).
c) admite exatamente duas soluções em \(I\).
d) admite exatamente três soluções em \(I\).
e) admite exatamente quatro soluções em \(I\).
a) não admite soluções em \(I\).
b) admite uma única solução em \(I\).
c) admite exatamente duas soluções em \(I\).
d) admite exatamente três soluções em \(I\).
e) admite exatamente quatro soluções em \(I\).
👀 Solução passo a passo
1) Redução algébrica:
Começando de \(f(x)=0\), \[ \cos x\big[\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)+2\sin x\big]-\sin x\;\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-2=0. \] Usando \(\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B)\), obtemos: \[ \cos\!\left(x+\tfrac{x}{3}\right)+2\sin x\cos x=2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \cos\!\left(\tfrac{4x}{3}\right)+\sin(2x)=2. \] 2) Condição de igualdade:
Como \(-1\le \cos\!\left(\tfrac{4x}{3}\right)\le 1\) e \(-1\le \sin(2x)\le 1\), o lado esquerdo é no máximo \(1+1=2\). Para atingir \(2\), é necessário e suficiente que \[ \cos\!\left(\tfrac{4x}{3}\right)=1 \quad \text{e} \quad \sin(2x)=1. \] Isso implica \[ \tfrac{4x}{3}=2\pi k \Rightarrow x=\tfrac{3\pi}{2}k,\qquad 2x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+n\pi, \] para \(k,n\in\mathbb{Z}\). 3) Interseção dos conjuntos:
Procuramos \(x\) que satisfaça simultaneamente \(x=\tfrac{3\pi}{2}k\) e \(x=\tfrac{\pi}{4}+n\pi\). Em congruências módulo \(\pi\): \[ \tfrac{3\pi}{2}k \equiv \tfrac{\pi}{4}\pmod{\pi} \;\Longrightarrow\; \tfrac{3}{2}k \equiv \tfrac{1}{4}\pmod{1}. \] O lado esquerdo é inteiro ou meio-inteiro, jamais \(1/4\) (módulo 1). Logo não há solução. Portanto, não existe \(x\in\mathbb{R}\) (em particular em \(I\)) satisfazendo ambas as condições.
Começando de \(f(x)=0\), \[ \cos x\big[\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)+2\sin x\big]-\sin x\;\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-2=0. \] Usando \(\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B)\), obtemos: \[ \cos\!\left(x+\tfrac{x}{3}\right)+2\sin x\cos x=2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \cos\!\left(\tfrac{4x}{3}\right)+\sin(2x)=2. \] 2) Condição de igualdade:
Como \(-1\le \cos\!\left(\tfrac{4x}{3}\right)\le 1\) e \(-1\le \sin(2x)\le 1\), o lado esquerdo é no máximo \(1+1=2\). Para atingir \(2\), é necessário e suficiente que \[ \cos\!\left(\tfrac{4x}{3}\right)=1 \quad \text{e} \quad \sin(2x)=1. \] Isso implica \[ \tfrac{4x}{3}=2\pi k \Rightarrow x=\tfrac{3\pi}{2}k,\qquad 2x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+n\pi, \] para \(k,n\in\mathbb{Z}\). 3) Interseção dos conjuntos:
Procuramos \(x\) que satisfaça simultaneamente \(x=\tfrac{3\pi}{2}k\) e \(x=\tfrac{\pi}{4}+n\pi\). Em congruências módulo \(\pi\): \[ \tfrac{3\pi}{2}k \equiv \tfrac{\pi}{4}\pmod{\pi} \;\Longrightarrow\; \tfrac{3}{2}k \equiv \tfrac{1}{4}\pmod{1}. \] O lado esquerdo é inteiro ou meio-inteiro, jamais \(1/4\) (módulo 1). Logo não há solução. Portanto, não existe \(x\in\mathbb{R}\) (em particular em \(I\)) satisfazendo ambas as condições.
Conclusão: a equação \(f(x)=0\) não admite soluções em \(I\).
Alternativa **A**.
