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ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 37 — Conjuntos
Seja \( A, B, C \subset \mathbb{R} \) tais que \( C \subseteq A \). Considere as afirmações:
I. \( (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \)
II. \( A \cap B = C \cup (B \cap (\mathbb{R} – C)) \)
III. \( A \cap (B – C) = (A – C) \cap B \)
É(São) VERDADEIRA(S):
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II.
d) apenas III.
e) I, II e III.
I. \( (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \)
II. \( A \cap B = C \cup (B \cap (\mathbb{R} – C)) \)
III. \( A \cap (B – C) = (A – C) \cap B \)
É(São) VERDADEIRA(S):
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II.
d) apenas III.
e) I, II e III.
👀 Solução Passo a Passo
I) Verdadeira
Pela propriedade distributiva: \[ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) \] Como \( C \subseteq A \), temos \( A \cup C = A \). Assim: \[ (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \]
II) Falsa
Seja \( A = \{1,2\}, B = \{2,3\}, C = \{1\} \): \[ A \cap B = \{2\} \] \[ \mathbb{R} – C \quad\text{(neste caso, considerando apenas o universo \(\{1,2,3\}\))}\quad = \{2,3\} \] \[ B \cap (\mathbb{R} – C) = \{2,3\} \] \[ C \cup (B \cap (\mathbb{R} – C)) = \{1,2,3\} \neq \{2\} \] Logo, II é falsa.
III) Verdadeira
\[ A \cap (B – C) = A \cap (B \cap C^c) \] Pela associatividade: \[ A \cap B \cap C^c = (A \cap C^c) \cap B \] Como \( A – C = A \cap C^c \), temos: \[ A \cap (B – C) = (A – C) \cap B \]
Pela propriedade distributiva: \[ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) \] Como \( C \subseteq A \), temos \( A \cup C = A \). Assim: \[ (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \]
II) Falsa
Seja \( A = \{1,2\}, B = \{2,3\}, C = \{1\} \): \[ A \cap B = \{2\} \] \[ \mathbb{R} – C \quad\text{(neste caso, considerando apenas o universo \(\{1,2,3\}\))}\quad = \{2,3\} \] \[ B \cap (\mathbb{R} – C) = \{2,3\} \] \[ C \cup (B \cap (\mathbb{R} – C)) = \{1,2,3\} \neq \{2\} \] Logo, II é falsa.
III) Verdadeira
\[ A \cap (B – C) = A \cap (B \cap C^c) \] Pela associatividade: \[ A \cap B \cap C^c = (A \cap C^c) \cap B \] Como \( A – C = A \cap C^c \), temos: \[ A \cap (B – C) = (A – C) \cap B \]
Resposta: B
