ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 44 — Poliedros e Relação de Euler
Um poliedro convexo tem 24 vértices e 36 arestas. Sabemos que cada vértice une 3 faces e que o número de arestas em cada face só pode assumir um entre dois valores \(m\) ou \(n\). É CORRETO afirmar que:
Alternativas:
a) é possível que \(m = 3\) e \(n = 4\).
b) é possível que \(m = 3\) e \(n = 5\).
c) é possível que \(m = 3\) e \(n = 7\).
d) é possível que \(m = 3\) e \(n = 8\).
e) é possível que \(m = 4\) e \(n = 5\).
👀 Solução Passo a Passo
1) Relação de Euler:
Pela fórmula \(V – A + F = 2\): \[ 24 – 36 + F = 2 \quad \Rightarrow \quad F = 14 \]
2) Determinação de \(x\):
Seja \(x\) o número de faces com \(m\) arestas e \((14 – x)\) o número de faces com \(n\) arestas. Pelo enunciado, \(m = 3\) e \(n = 8\): \[ \frac{x \cdot 3 + (14 – x) \cdot 8}{2} = 36 \] \[ 3x + 112 – 8x = 72 \] \[ -5x + 112 = 72 \quad \Rightarrow \quad -5x = -40 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \]
3) Conclusão:
Para \(m = 3\) e \(n = 8\), temos uma configuração válida.
Pela fórmula \(V – A + F = 2\): \[ 24 – 36 + F = 2 \quad \Rightarrow \quad F = 14 \]
2) Determinação de \(x\):
Seja \(x\) o número de faces com \(m\) arestas e \((14 – x)\) o número de faces com \(n\) arestas. Pelo enunciado, \(m = 3\) e \(n = 8\): \[ \frac{x \cdot 3 + (14 – x) \cdot 8}{2} = 36 \] \[ 3x + 112 – 8x = 72 \] \[ -5x + 112 = 72 \quad \Rightarrow \quad -5x = -40 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \]
3) Conclusão:
Para \(m = 3\) e \(n = 8\), temos uma configuração válida.
Resposta: d) \(m = 3\) e \(n = 8\)
