Questão 09 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Geometria Espacial • Sólidos de Revolução • Cones
Duas circunferências \(C_1\) e \(C_2\) de centros \(O_1\) e \(O_2\), respectivamente, têm raio igual a 5 cm e se interceptam nos pontos \(P\) e \(Q\), determinando uma corda comum \(PQ\) de tamanho 6 cm. As interseções de cada circunferência com o segmento \(O_1O_2\) determinam os pontos \(R\) em \(C_1\) e \(S\) em \(C_2\). O volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo \(PO_1R\) em torno da reta \(O_1Q\) é, em cm³, igual a:
👀 Solução passo a passo
1) Distância do centro à corda
Seja \(M\) o ponto médio de \(PQ\). Como \(|PQ| = 6\):
\[ |PM| = 3 \]No triângulo retângulo \(PO_1M\), com \(O_1P = 5\):
\[ O_1M = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = 4\ \text{cm} \]2) Posição de \(R\) no segmento \(O_1O_2\)
Como \(R\) pertence a \(C_1\), \(O_1R = 5\). Logo:
\[ RM = O_1R – O_1M = 5 – 4 = 1\ \text{cm} \]3) Volume por rotação
O triângulo \(PO_1R\) gera a soma de dois cones com raio de base \(PM = 3\):
- Um cone com altura \(O_1M = 4\)
- Outro cone com altura \(RM = 1\)
Gabarito: \( \boxed{15\pi} \ \text{cm}^3 \)
