Seja \(E\) uma elipse com eixo focal no eixo \(O_x\) do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de \(E\) é o ponto \((r,0)\), com \(r>0\), sua excentricidade é \(e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), e seu semieixo maior mede \(\sqrt{2}\).
Considere os pontos \((x,y)\in E\). Determine o valor de \(r\) para que a razão \(\dfrac{x}{y}\) tenha valor máximo igual a \(1\).
👀 Solução passo a passo
Dados \(a=\sqrt{2}\) (semieixo maior) e \(e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Para elipse, \(e=\dfrac{c}{a}\Rightarrow c=e\,a=1\). Assim, \(c=1\) e \(b\) vem de \(a^2=b^2+c^2\):
\[ b^2 = a^2 – c^2 = 2-1 = 1 \ \Rightarrow\ b=1. \]Como o centro é \((r,0)\) e o eixo maior é horizontal, a equação de \(E\) é
\[ \frac{(x-r)^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1. \]O máximo de \(\dfrac{x}{y}\) ser \(1\) significa que a reta \(y=x\) é tangente à elipse (no 1º quadrante). Logo, a interseção entre \(y=x\) e a elipse deve ter uma solução real (discriminante nulo).
Substituindo \(y=x\) em \(\dfrac{(x-r)^2}{2}+x^2=1\):
\[ (x-r)^2 + 2x^2 = 2 \ \Longrightarrow\ 3x^2 – 2r\,x + (r^2 – 2) = 0. \]Para tangência, o discriminante deve ser zero:
\[ \Delta = (-2r)^2 – 4\cdot 3\,(r^2-2) = 4r^2 – 12r^2 + 24 = 24 – 8r^2 = 0, \] \[ \Rightarrow\ r^2 = 3 \ \Rightarrow\ r=\sqrt{3}\ (\text{pois } r>0). \]
