2ª Fase — Questão 06 | Probabilidade • Enésimo lançamento • 4ª cara
Uma moeda não viciada é lançada \(n\) vezes. Encontre os valores de \(n\) que maximizam a probabilidade de sair cara pela quarta vez exatamente no enésimo lançamento.
👀 Solução passo a passo
1) Probabilidade para um \(n\) fixo
Para que a 4ª cara ocorra no \(n\)-ésimo lançamento: nas \(n-1\) jogadas anteriores devem ocorrer exatamente 3 caras, e a \(n\)-ésima deve ser cara.
\[ \mathbb P_n=\binom{n-1}{3}\left(\frac12\right)^{n} =\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}\left(\frac12\right)^{n}. \]2) Comparar termos consecutivos
Considere \(k\ge4\). O quociente
\[ \frac{\mathbb P_{k+1}}{\mathbb P_k} =\frac{\binom{k}{3}(1/2)^{k+1}}{\binom{k-1}{3}(1/2)^k} =\frac{k}{2(k-3)}=\frac{k}{2k-6}. \]Logo, \(\mathbb P_{k+1}\le \mathbb P_k \iff \dfrac{k}{2k-6}\le 1 \iff k\ge 6\).
3) Onde ocorre o máximo
Até \(k=6\) a sequência é não decrescente; para \(k>6\) ela decresce. Em \(k=6\) temos igualdade \(\mathbb P_{6}=\mathbb P_{7}\) (pico plano).
\[ \mathbb P_{6}=\binom{5}{3}\left(\frac12\right)^6 =10\left(\frac12\right)^6,\qquad \mathbb P_{7}=\binom{6}{3}\left(\frac12\right)^7 =20\left(\frac12\right)^7 =10\left(\frac12\right)^6. \]
Valores que maximizam: \(n=6\) ou \(n=7\).
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