Limite de Funções de Várias Variáveis
Olá pessoal! Neste artigo vamos falar sobre limite de funções de várias variáveis, um conceito essencial em cálculo multivariável. Assim como no cálculo de uma variável, o limite indica a tendência de uma função quando suas variáveis independentes se aproximam de um determinado ponto.
1. Definição Intuitiva de Limite
Seja \( f: A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \). Dizemos que \( L \) é o limite de \( f(x,y) \) quando \((x, y) \to (a, b)\) se:
onde \(L\) é um número real. Quando o ponto \((a,b)\) pertence ao domínio de \(f\), o limite coincide com o valor da função no ponto. Caso contrário, estudamos a tendência da função nas proximidades de \((a,b)\).
2. Funções Contínuas
Uma função \(f\) é contínua em \((x_0, y_0)\) se:
Polinômios e funções racionais (exceto nos pontos onde o denominador se anula) são exemplos de funções contínuas. Composições de funções contínuas, como \( \cos(x + 2y) \), também são contínuas.
3. Propriedades de Limites
Sejam \(f\) e \(g\) funções com limites \(L\) e \(K\) em \((x_0, y_0)\), temos:
- \(\lim (f + g) = L + K\);
- \(\lim (f \cdot g) = L \cdot K\);
- \(\lim \frac{f}{g} = \frac{L}{K}, \, K \neq 0.\)
4. Técnicas de Cálculo de Limites
Quando a substituição direta não é possível (por exemplo, quando ocorre uma indeterminação \( \frac{0}{0} \)), podemos usar técnicas como:
- Fatoração e cancelamento;
- Substituições para reduzir a expressão a uma função contínua;
- Uso de variáveis auxiliares (como \( h = x^2 + y^2 \)).
Calcule: \[ \lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{x^3 – x^2y}{x-y}. \]
Fatorando \( x^2(x-y) \), temos:
\[ \frac{x^2(x-y)}{x-y} = x^2. \]Logo, o limite é \( x^2 \to 1^2 = 1.\)
\[ \lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{x^2 – y^2}{x-y}. \]
Fatoramos \( x^2 – y^2 = (x-y)(x+y) \), cancelamos \( x-y \) e obtemos \( x+y \to 2+2 = 4.\)
5. Limites que Tendem ao Infinito
Se uma função assume valores arbitrariamente grandes na vizinhança de um ponto, dizemos que o limite tende ao infinito. Exemplo:
6. Limite com Substituição
\[ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\sin(1 – x^2 – y^2)}{2 – 2x^2 – 2y^2}. \]
Definindo \( h = 1 – x^2 – y^2 \), temos \( \sin(h)/(2h) \to \frac{1}{2} \) quando \(h \to 0\). Logo, o limite é \( \frac{1}{2}.\)
7. Conclusão
O estudo de limites em várias variáveis é fundamental para o entendimento de continuidade, derivadas parciais e análise de superfícies. As técnicas vistas aqui — como fatoração, substituição e análise do comportamento próximo ao ponto — são as ferramentas básicas para dominar esse tema.
Limites de Funções de Várias Variáveis – Técnicas Avançadas
Olá pessoal! Nesta continuação do estudo de limites de funções de várias variáveis, veremos novas técnicas para calcular limites, identificar funções limitadas e entender como demonstrar quando um limite não existe.
1. Funções Limitadas
Uma função \( f(x,y) \) é chamada limitada se existe um número real \( M > 0 \) tal que:
Por exemplo:
- O seno é limitado: \( | \sin(x + 2y) | \leq 1 \) para todo \( (x,y). \)
- A função \( \frac{x^2}{x^2 + y^2} \) também é limitada (com valor máximo igual a 1), exceto no ponto \((0,0)\) que não pertence ao domínio.
2. Teorema do Infinitésimo
Se \(f(x,y)\) é uma função limitada e \(g(x,y) \to 0\) quando \((x,y) \to (x_0,y_0)\), então:
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3}{x^2 + y^2}. \]
Escrevemos \( x^3 = x \cdot x^2 \) e notamos que \( \frac{x^2}{x^2 + y^2} \) é limitada (\(\leq 1\)). Como \(x \to 0\), pelo teorema do infinitésimo, o limite é \(0.\)
3. Uso de Curvas Parametrizadas
Para verificar a existência de limite em \((x,y) \to (x_0, y_0)\), podemos analisar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos que passam pelo ponto. Se os limites ao longo de dois caminhos diferentes resultarem em valores distintos, o limite não existe.
Considere \( f(x,y) = \frac{x – y}{x^2 + y^2} \) e avalie em \((0,0)\).
Caminho 1: \( x = y = t \)
\(\displaystyle f(t,t) = \frac{t-t}{t^2 + t^2} = 0.\)
Caminho 2: \( x = 2t, y = t \)
\(\displaystyle f(2t,t) = \frac{2t – t}{4t^2 + t^2} = \frac{t}{5t^2} = \frac{1}{5t} \to \infty.\)
Conclusão: O limite não existe.
4. Análise de Caminhos Diferentes
Se os limites ao longo de caminhos como \(x = y\) e \(x = 2y\) resultarem em valores diferentes, a função não possui limite no ponto. Essa técnica é eficiente para demonstrar a inexistência de limite.
5. Exemplo com Sinal Diferente
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \]
Escolhendo o caminho \( x = y = t \):
\[ f(t,t) = \frac{t \sqrt{2}}{\sqrt{2t^2}} = \frac{t \sqrt{2}}{|t|\sqrt{2}} = \frac{t}{|t|}. \]Se \(t > 0\), o limite é \(1\); se \(t < 0\), o limite é \(-1\). Portanto, o limite não existe.
6. Conclusão
As técnicas apresentadas — análise de funções limitadas, teorema do infinitésimo e estudo de caminhos parametrizados — são fundamentais para determinar limites ou provar sua inexistência em funções de duas variáveis.
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