O limite infinito acontece quando os valores de uma função crescem ou diminuem sem limite à medida que a variável se aproxima de determinado ponto.
Nesse caso, a função não se aproxima de um número real específico. Em vez disso, ela aumenta indefinidamente ou diminui indefinidamente.
O que é um limite infinito?
Quando:
\[ \lim_{x \to a}f(x)=+\infty \]
significa que os valores da função crescem sem limite quando \(x\) se aproxima de \(a\).
Quando:
\[ \lim_{x \to a}f(x)=-\infty \]
significa que os valores da função diminuem sem limite quando \(x\) se aproxima de \(a\).
Interpretação intuitiva
O símbolo infinito não representa um número específico.
Ele indica apenas que a função cresce ou decresce indefinidamente.
Por isso:
- \(+\infty\) representa crescimento sem limite.
- \(-\infty\) representa decrescimento sem limite.
Exemplo 1
Considere:
\[ \lim_{x \to 2}\frac{1}{(x-2)^2} \]
Quando \(x\) se aproxima de 2:
\[ (x-2)^2 \to 0^+ \]
Logo:
\[ \frac{1}{(x-2)^2}\to +\infty \]
Resposta:
\[ \boxed{+\infty} \]
Exemplo 2
Considere:
\[ \lim_{x \to -1^-}\frac{1}{x+1} \]
Quando \(x\) se aproxima de \(-1\) pela esquerda:
\[ x+1\to 0^- \]
Logo:
\[ \frac{1}{x+1}\to -\infty \]
Resposta:
\[ \boxed{-\infty} \]
Assíntota vertical
Muitos limites infinitos aparecem quando existe uma assíntota vertical.
A reta:
\[ x=a \]
é chamada de assíntota vertical quando a função cresce ou decresce infinitamente perto desse ponto.
Exercícios Resolvidos
Calcule:
\[ \lim_{x \to 1}\frac{1}{(x-1)^2} \]
Como:
\[ (x-1)^2 \to 0^+ \]
temos:
\[ \frac{1}{(x-1)^2}\to +\infty \]
Resposta:
\[ \boxed{+\infty} \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 3^-}\frac{1}{x-3} \]
Quando \(x\) se aproxima de 3 pela esquerda:
\[ x-3\to 0^- \]
Então:
\[ \frac{1}{x-3}\to -\infty \]
Resposta:
\[ \boxed{-\infty} \]
Se uma função cresce indefinidamente quando \(x\) se aproxima de 5, então:
\[ \lim_{x \to 5}f(x)=+\infty \]
Isso significa que a função não tende a um número real específico.
