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(Banca IBFC – 2021 – Polinômios) Sabemos que o resto da divisão do polinômio P(x) = x3 + mx + n pelo polinômio Q(x) = x2 − x − 2 é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta o produto de m ∗ n.
A) -1
B) 6
C) -6
D) 5
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Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto e a relação entre o grau dos polinômios envolvidos na divisão.
Dado que o polinômio P(x) = x3 + mx + n está sendo dividido pelo polinômio Q(x) = x2 – x – 2, sabemos que o grau do quociente será (1) e o resto será um polinômio de grau menor que o divisor, ou seja, um polinômio de grau (1) da forma R(x) = ax + b.
Informações da questão
Sabemos que o resto da divisão é igual a (4), o que significa que:
R(x) = 4
Além disso, como Q(x) = x2 – x – 2, podemos fatorar Q(x) para encontrar suas raízes e usá-las no Teorema do Resto.
Passo 1: Encontrar as raízes de Q(x) = x2 – x – 2
Para fatorar x2– x – 2, resolvemos a equação:
x2 – x – 2 = 0
As raízes dessa equação são:
x = 2 e x = -1
Passo 2: Aplicar o Teorema do Resto
Como o resto da divisão de P(x) por Q(x) é um polinômio constante R(x) = 4, temos:
- P(2) = 4
- P(-1) = 4
Vamos usar essas duas condições para criar um sistema de equações para m e n.
Substituindo x = 2 em P(x):
P(2) = 23 + m ⋅ 2 + n = 4
8 + 2m + n = 4
2m + n = -4 (Equação 1)
Substituindo x = -1 em P(x):
P(-1) = (-1)3 + m ⋅ (-1) + n = 4
-1 – m + n = 4
-m + n = 5 (Equação 2)
Passo 3: Resolver o sistema de equações
Temos o seguinte sistema:
- 2m + n = -4
- -m + n = 5
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar ( n ):
(2m + n) – (-m + n) = -4 – 5
3m = -9
m = -3
Substituindo m = -3 em uma das equações para encontrar n. Usando a Equação 2:
-(-3) + n = 5
3 + n = 5
n = 2
Passo 4: Calcular o produto m ⋅ n
m ⋅ n = (-3) ⋅ 2 = -6
Portanto, o valor de m ⋅ n é:
C) -6
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