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(IBFC – 2023 – Progressão Geométrica) A sequência (x, 2x/5, 4x/25, …) é uma progressão geométrica, onde x é um número real. Sabe-se que a soma dos infinitos termos desta sequência equivale a 25/3 . O valor de x é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Ver Solução
Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica (PG) infinita, que é válida quando a razão da PG, ( q ), está entre -1 e 1. A fórmula é:
onde:
- ( a ) é o primeiro termo da sequência,
- ( q ) é a razão da PG.
Passo 1: Identificar o primeiro termo e a razão da sequência
A sequência dada é (x, 2x/5, 4x/25, …).
O primeiro termo ( a ) é ( x ).
A razão ( q ) pode ser obtida dividindo o segundo termo pelo primeiro:
Passo 2: Aplicar a fórmula da soma dos infinitos termos
Sabemos que a soma dos infinitos termos é igual a ( 25/3 ). Substituindo na fórmula:
Passo 3: Simplificar a expressão
Calcule (1 – 2/5):
Substitua esse valor na fórmula:
Multiplique ambos os lados por ( 3/5 ) para isolar ( x ):
Simplifique a expressão:
Resposta
O valor de ( x ) é ( 5 ). Portanto, a alternativa correta é:
D) 5
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