Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
- \(9!\)
- \(4!\,5!\)
- \(2\times 4!\,5!\)
- \(\dfrac{9!}{2}\)
- \(\dfrac{4!\,5!}{2}\)
Mostrar / esconder solução passo a passo
1) Separar vogais e consoantes
“I AM POTTER” (sem espaços) → I A M P O T T E R.
Vogais: \(I, A, O, E\) (4 distintas).
Consoantes: \(M, P, T, T, R\) (5, com \(T\) repetido).
Vogais: \(I, A, O, E\) (4 distintas).
Consoantes: \(M, P, T, T, R\) (5, com \(T\) repetido).
2) Padrão de alternância
Como há 5 consoantes e 4 vogais, a sequência deve começar e terminar com consoante:
\(C\,V\,C\,V\,C\,V\,C\,V\,C\).
3) Contagem
• Disposição das consoantes (com dois T iguais): \(\dfrac{5!}{2!}\).
• Disposição das vogais (todas distintas): \(4!\).
• Total: \[ \frac{5!}{2}\cdot 4! \;=\; \boxed{\frac{4!\,5!}{2}}. \]
• Disposição das vogais (todas distintas): \(4!\).
• Total: \[ \frac{5!}{2}\cdot 4! \;=\; \boxed{\frac{4!\,5!}{2}}. \]
Gabarito: letra E — \(\displaystyle \frac{4!\,5!}{2}\).
Veja também — questão anterior (ENEM 2020 Matemática)
Questão 34 — projetos em lotes (recuos e área)
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