Questão 12
Um jardineiro dispõe de \( k \) metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de:
- A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \( \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24} \)
- B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \( \dfrac{3k^2\sqrt{3}}{2} \)
- C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \( \dfrac{k^2}{16} \)
- D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \( \dfrac{k^2\sqrt{3}}{36} \)
- E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \( \dfrac{k^2\sqrt{3}}{4} \)
Objetivo: comparar as áreas dos três polígonos regulares com o mesmo perímetro \( k \).
—1. Triângulo equilátero:
Perímetro: \( 3l = k \Rightarrow l = \dfrac{k}{3} \)
Área: \( A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{(k/3)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{36} \)
—2. Quadrado:
Perímetro: \( 4l = k \Rightarrow l = \dfrac{k}{4} \)
Área: \( A = l^2 = \left(\dfrac{k}{4}\right)^2 = \dfrac{k^2}{16} \)
—3. Hexágono regular:
O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado \( l \)
Perímetro: \( 6l = k \Rightarrow l = \dfrac{k}{6} \)
Área de cada triângulo: \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \dfrac{(k/6)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{144} \)
Área do hexágono: \( 6 \cdot \dfrac{k^2\sqrt{3}}{144} = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24} \)
—Conclusão:
Comparando:
- Triângulo equilátero: \( \dfrac{k^2\sqrt{3}}{36} \)
- Quadrado: \( \dfrac{k^2}{16} \)
- Hexágono: \( \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24} \)
Como \( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \), temos:
- \( \dfrac{k^2 \cdot 1{,}73}{36} \approx 0{,}048k^2 \)
- \( \dfrac{k^2}{16} = 0{,}0625k^2 \)
- \( \dfrac{k^2 \cdot 1{,}73}{24} \approx 0{,}072k^2 \)
✅ A maior área é a do hexágono regular.
Resposta correta: alternativa A
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