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ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 46 — Geometria Plana
Seja \(A\) um ponto externo a uma circunferência \(\lambda\) de centro \(O\) e raio \(r\).
Considere uma reta passando por \(A\) e secante a \(\lambda\) nos pontos \(C\) e \(D\) tal que o
segmento \(AC\) é externo a \(\lambda\) e tem comprimento \(r\).
Seja \(B\) o ponto de \(\lambda\) tal que \(O\) pertence ao segmento \(\overline{AB}\).
Se \(\angle BÂD=10^\circ\), então a medida do ângulo \(\angle BÔD\) é:
A) \(25^\circ\)
B) \(30^\circ\)
C) \(35^\circ\)
D) \(40^\circ\)
E) \(45^\circ\)
👀 Solução passo a passo
• Como \(AC=r\) e \(OC=r\), o triângulo \(AOC\) é isósceles, logo
\[
\angle CÂO=\angle CÔA=10^\circ. \tag{1}
\]
(pois \(AO\) é colinear com \(AB\) e o ângulo dado é \(\angle BÂD=10^\circ\)).
• Assim, o ângulo na secante entre \(AC\) e \(AD\) é \[ \angle CAD=\angle CÂO+\angle OÂD=10^\circ+10^\circ=20^\circ. \tag{2} \] • No triângulo isósceles \(COD\) (\(OC=OD=r\)), tem-se que o ângulo externo em \(C\) igual a \(\angle CAD\) vale \(20^\circ\); portanto os ângulos da base são \(\angle OCD=\angle ODC=20^\circ\) e o ângulo do vértice é \[ \angle CÔD=180^\circ-2\cdot20^\circ=140^\circ. \tag{3} \] • Como \(A,O,B\) são colineares e \(B\) está no lado oposto a \(A\) na circunferência, o menor ângulo central entre \(OC\) e \(OB\) coincide com \(\angle CÔA\), isto é, \[ \angle CÔB=10^\circ. \tag{4} \] • Finalmente, sobre a semi-circunferência determinada por \(OB\), \[ \angle BÔD =180^\circ-\big(\angle CÔD+\angle CÔB\big) =180^\circ-(140^\circ+10^\circ)=30^\circ. \]
• Assim, o ângulo na secante entre \(AC\) e \(AD\) é \[ \angle CAD=\angle CÂO+\angle OÂD=10^\circ+10^\circ=20^\circ. \tag{2} \] • No triângulo isósceles \(COD\) (\(OC=OD=r\)), tem-se que o ângulo externo em \(C\) igual a \(\angle CAD\) vale \(20^\circ\); portanto os ângulos da base são \(\angle OCD=\angle ODC=20^\circ\) e o ângulo do vértice é \[ \angle CÔD=180^\circ-2\cdot20^\circ=140^\circ. \tag{3} \] • Como \(A,O,B\) são colineares e \(B\) está no lado oposto a \(A\) na circunferência, o menor ângulo central entre \(OC\) e \(OB\) coincide com \(\angle CÔA\), isto é, \[ \angle CÔB=10^\circ. \tag{4} \] • Finalmente, sobre a semi-circunferência determinada por \(OB\), \[ \angle BÔD =180^\circ-\big(\angle CÔD+\angle CÔB\big) =180^\circ-(140^\circ+10^\circ)=30^\circ. \]
Resposta: B) \(30^\circ\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 45 — 1ª Fase
