ITA 2020 — 2ª Fase — Questão 5 — Polinômios
Considere a função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por
\[
f(x)=x^6-10x^4-4x^3+25x^2+20x+28.
\]
a) Determine números reais \(\alpha\) e \(\beta\) tais que
\(f(x)\) possa ser escrita como \(\displaystyle f(x)=(x^3-5x+\alpha)^2+\beta\).
b) Determine o valor mínimo de \(f\).
c) Determine o(s) ponto(s) \(x\in\mathbb{R}\) onde \(f\) assume seu valor mínimo.
b) Determine o valor mínimo de \(f\).
c) Determine o(s) ponto(s) \(x\in\mathbb{R}\) onde \(f\) assume seu valor mínimo.
👀 Solução detalhada
a) Ajuste por comparação de coeficientes
Desenvolvendo: \[ (x^3-5x+\alpha)^2 =x^6+25x^2+\alpha^2+2\big(x^3(-5x)+x^3\alpha+(-5x)\alpha\big) =x^6-10x^4+2\alpha x^3+25x^2-10\alpha x+\alpha^2. \] Logo, \[ (x^3-5x+\alpha)^2+\beta =x^6-10x^4+2\alpha x^3+25x^2-10\alpha x+\alpha^2+\beta. \] Igualando termo a termo com \(f(x)=x^6-10x^4-4x^3+25x^2+20x+28\): \[ 2\alpha=-4\Rightarrow \alpha=-2,\qquad -10\alpha=20\ (\checkmark),\qquad \alpha^2+\beta=28\Rightarrow \beta=24. \] Portanto, \[ f(x)=(x^3-5x-2)^2+24. \] b) Valor mínimo
Como \((x^3-5x-2)^2\ge 0\) para todo \(x\), conclui-se que \[ f_{\min}=24. \] c) Onde o mínimo é atingido
O mínimo ocorre quando o termo quadrático zera: \[ (x^3-5x-2)^2=0\ \Longleftrightarrow\ x^3-5x-2=0. \] Por inspeção, \(x=-2\) é raiz; dividindo \(x^3-5x-2\) por \((x+2)\), obtemos \[ x^3-5x-2=(x+2)\,(x^2-2x-1). \] Assim, \[ x^2-2x-1=0\ \Rightarrow\ x=1\pm\sqrt{2}. \] Logo, \(f\) atinge o mínimo \(24\) nos pontos \[ S=\{-2,\;1+\sqrt2,\;1-\sqrt2\}. \]
Desenvolvendo: \[ (x^3-5x+\alpha)^2 =x^6+25x^2+\alpha^2+2\big(x^3(-5x)+x^3\alpha+(-5x)\alpha\big) =x^6-10x^4+2\alpha x^3+25x^2-10\alpha x+\alpha^2. \] Logo, \[ (x^3-5x+\alpha)^2+\beta =x^6-10x^4+2\alpha x^3+25x^2-10\alpha x+\alpha^2+\beta. \] Igualando termo a termo com \(f(x)=x^6-10x^4-4x^3+25x^2+20x+28\): \[ 2\alpha=-4\Rightarrow \alpha=-2,\qquad -10\alpha=20\ (\checkmark),\qquad \alpha^2+\beta=28\Rightarrow \beta=24. \] Portanto, \[ f(x)=(x^3-5x-2)^2+24. \] b) Valor mínimo
Como \((x^3-5x-2)^2\ge 0\) para todo \(x\), conclui-se que \[ f_{\min}=24. \] c) Onde o mínimo é atingido
O mínimo ocorre quando o termo quadrático zera: \[ (x^3-5x-2)^2=0\ \Longleftrightarrow\ x^3-5x-2=0. \] Por inspeção, \(x=-2\) é raiz; dividindo \(x^3-5x-2\) por \((x+2)\), obtemos \[ x^3-5x-2=(x+2)\,(x^2-2x-1). \] Assim, \[ x^2-2x-1=0\ \Rightarrow\ x=1\pm\sqrt{2}. \] Logo, \(f\) atinge o mínimo \(24\) nos pontos \[ S=\{-2,\;1+\sqrt2,\;1-\sqrt2\}. \]
\(\alpha=-2\), \(\beta=24\); mínimo \(f_{\min}=24\) em \(x\in\{-2,\,1\pm\sqrt2\}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 4 — 2ª Fase
