ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 50 — Polinômios
Seja \(p(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e\) um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:
I) \(p(x)\) é divisível por \(x^{2}-4\);
II) a soma das raízes de \(p(x)\) é igual a \(1\);
III) o produto das raízes de \(p(x)\) é igual a \(3\);
IV) \(p(-1)=-\dfrac{15}{4}\);
então, \(p(1)\) é igual a:
I) \(p(x)\) é divisível por \(x^{2}-4\);
II) a soma das raízes de \(p(x)\) é igual a \(1\);
III) o produto das raízes de \(p(x)\) é igual a \(3\);
IV) \(p(-1)=-\dfrac{15}{4}\);
então, \(p(1)\) é igual a:
A) \(-\dfrac{17}{2}\)
B) \(-\dfrac{19}{4}\)
C) \(-\dfrac{3}{2}\)
D) \(\dfrac{9}{4}\)
E) \(\dfrac{9}{2}\)
👀 Solução passo a passo
1) Raízes conhecidas e relações de Viète.
De I), \(x^{2}-4\mid p(x)\Rightarrow 2\) e \(-2\) são raízes de \(p\). Seja \(r_1,r_2\) as outras duas raízes. Pela soma das raízes de um polinômio de grau \(4\) (Viète), \[ (2)+(-2)+r_1+r_2=1\ \Rightarrow\ \boxed{r_1+r_2=1}. \tag{1} \] Pelo produto das quatro raízes (para grau par, \(\prod r_i=\dfrac{e}{a}\)), \[ (2)(-2)\,r_1 r_2 = 3\ \Rightarrow\ \boxed{r_1 r_2=-\dfrac{3}{4}}. \tag{2} \] Assim, \(r_1\) e \(r_2\) são as raízes do quadrático \[ x^2-(r_1+r_2)x+(r_1 r_2)=0\ \Rightarrow\ x^2-x-\frac34=0. \] Multiplicando por \(4\): \(4x^2-4x-3=0\) com \[ \Delta=(-4)^2-4\cdot4(-3)=16+48=64 \Rightarrow x=\frac{4\pm 8}{8}\in\left\{\frac32,\ -\frac12\right\}. \] Logo, as quatro raízes são \(\{2,-2,\tfrac32,-\tfrac12\}\). 2) Determinação do coeficiente \(a\) usando IV).
Escrevendo \(p\) por suas raízes: \[ p(x)=a\,(x-2)(x+2)\!\left(x-\frac32\right)\!\left(x+\frac12\right). \] Avaliando em \(x=-1\): \[ p(-1)=a\,(-3)(1)\!\left(-\frac{5}{2}\right)\!\left(-\frac12\right) =a\left(-\frac{15}{4}\right). \] Como \(p(-1)=-\dfrac{15}{4}\) (IV), conclui-se \(\boxed{a=1}\). 3) Cálculo de \(p(1)\).
\[ p(1)=(1-2)(1+2)\!\left(1-\frac32\right)\!\left(1+\frac12\right) =(-1)\cdot 3\cdot\!\left(-\frac12\right)\!\cdot\frac32 =\boxed{\frac{9}{4}}. \]
De I), \(x^{2}-4\mid p(x)\Rightarrow 2\) e \(-2\) são raízes de \(p\). Seja \(r_1,r_2\) as outras duas raízes. Pela soma das raízes de um polinômio de grau \(4\) (Viète), \[ (2)+(-2)+r_1+r_2=1\ \Rightarrow\ \boxed{r_1+r_2=1}. \tag{1} \] Pelo produto das quatro raízes (para grau par, \(\prod r_i=\dfrac{e}{a}\)), \[ (2)(-2)\,r_1 r_2 = 3\ \Rightarrow\ \boxed{r_1 r_2=-\dfrac{3}{4}}. \tag{2} \] Assim, \(r_1\) e \(r_2\) são as raízes do quadrático \[ x^2-(r_1+r_2)x+(r_1 r_2)=0\ \Rightarrow\ x^2-x-\frac34=0. \] Multiplicando por \(4\): \(4x^2-4x-3=0\) com \[ \Delta=(-4)^2-4\cdot4(-3)=16+48=64 \Rightarrow x=\frac{4\pm 8}{8}\in\left\{\frac32,\ -\frac12\right\}. \] Logo, as quatro raízes são \(\{2,-2,\tfrac32,-\tfrac12\}\). 2) Determinação do coeficiente \(a\) usando IV).
Escrevendo \(p\) por suas raízes: \[ p(x)=a\,(x-2)(x+2)\!\left(x-\frac32\right)\!\left(x+\frac12\right). \] Avaliando em \(x=-1\): \[ p(-1)=a\,(-3)(1)\!\left(-\frac{5}{2}\right)\!\left(-\frac12\right) =a\left(-\frac{15}{4}\right). \] Como \(p(-1)=-\dfrac{15}{4}\) (IV), conclui-se \(\boxed{a=1}\). 3) Cálculo de \(p(1)\).
\[ p(1)=(1-2)(1+2)\!\left(1-\frac32\right)\!\left(1+\frac12\right) =(-1)\cdot 3\cdot\!\left(-\frac12\right)\!\cdot\frac32 =\boxed{\frac{9}{4}}. \]
Resposta: D) \(\displaystyle \frac{9}{4}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 49
