ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 54 — Geometria Espacial
Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam \(\pi_1,\pi_2,\pi_3\) três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas \(r,s,t\). Se \(r\cap s\ne r\cap t\), então \(r\cap s\cap t\ne\varnothing\).
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas \(r\) e \(s\) sobre um plano \(\pi\) são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas \(r,s,t\) reversas duas a duas, existe uma reta \(u\) paralela a \(r\) e concorrente com \(s\) e com \(t\).
É(são) VERDADEIRA(S):
I. Sejam \(\pi_1,\pi_2,\pi_3\) três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas \(r,s,t\). Se \(r\cap s\ne r\cap t\), então \(r\cap s\cap t\ne\varnothing\).
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas \(r\) e \(s\) sobre um plano \(\pi\) são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas \(r,s,t\) reversas duas a duas, existe uma reta \(u\) paralela a \(r\) e concorrente com \(s\) e com \(t\).
É(são) VERDADEIRA(S):
A) apenas I
B) apenas II
C) apenas I e II
D) apenas I e III
E) nenhuma
👀 Solução passo a passo
I) Verdadeira.
Como \(r=\pi_1\cap\pi_2\), \(s=\pi_2\cap\pi_3\) e \(t=\pi_1\cap\pi_3\), se \(p\in r\cap s\) então \(p\in\pi_1\cap\pi_2\) e \(p\in\pi_2\cap\pi_3\), portanto \(p\in\pi_2\). Se além disso \(r\cap s\ne r\cap t\), segue que há ponto comum a \(\pi_1\) e \(\pi_3\) em \(r\), logo \(p\in t\). Conclui-se \(p\in r\cap s\cap t\ne\varnothing\). ✔️
II) Falsa.
Considere \(r\parallel s\) e um plano \(\beta\) perpendicular a um plano \(\alpha\) que contém \(r\) e \(s\). As projeções ortogonais de \(r\) e \(s\) em \(\beta\) podem coincidir (quando \(\alpha\perp\beta\)), não sendo paralelas. ✘
III) Falsa.
Sejam \(r,s,t\) reversas duas a duas. Tome um plano \(\alpha\) paralelo a \(r\) e contendo \(t\), e um plano \(\beta\) também paralelo a \(r\) contendo \(s\). A interseção \(\alpha\cap\beta\) pode ser vazia (planos paralelos distintos), impossibilitando a existência de \(u\) simultaneamente concorrente a \(s\) e \(t\) e paralela a \(r\). ✘
Como \(r=\pi_1\cap\pi_2\), \(s=\pi_2\cap\pi_3\) e \(t=\pi_1\cap\pi_3\), se \(p\in r\cap s\) então \(p\in\pi_1\cap\pi_2\) e \(p\in\pi_2\cap\pi_3\), portanto \(p\in\pi_2\). Se além disso \(r\cap s\ne r\cap t\), segue que há ponto comum a \(\pi_1\) e \(\pi_3\) em \(r\), logo \(p\in t\). Conclui-se \(p\in r\cap s\cap t\ne\varnothing\). ✔️
II) Falsa.
Considere \(r\parallel s\) e um plano \(\beta\) perpendicular a um plano \(\alpha\) que contém \(r\) e \(s\). As projeções ortogonais de \(r\) e \(s\) em \(\beta\) podem coincidir (quando \(\alpha\perp\beta\)), não sendo paralelas. ✘
III) Falsa.
Sejam \(r,s,t\) reversas duas a duas. Tome um plano \(\alpha\) paralelo a \(r\) e contendo \(t\), e um plano \(\beta\) também paralelo a \(r\) contendo \(s\). A interseção \(\alpha\cap\beta\) pode ser vazia (planos paralelos distintos), impossibilitando a existência de \(u\) simultaneamente concorrente a \(s\) e \(t\) e paralela a \(r\). ✘
Resposta: A) apenas I.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 53
