ITA 2020 — 2ª Fase — Questão 8 — Geometria Plana
Considere a circunferência \(\lambda\) de centro \(O\) passando por um ponto \(A\).
Sejam \(B\) um ponto tal que \(A\) é o ponto médio de \(\overline{OB}\) e \(M\) um ponto de \(\lambda\) tal que
\(\angle AÔM=100^\circ\). Seja \(r\) a reta tangente a \(\lambda\) passando por \(M\).
Seja \(\overline{DE}\) a projeção ortogonal do segmento \(\overline{AB}\) sobre a reta \(r\)
(isto é, \(D\) e \(E\) são as projeções ortogonais de \(A\) e \(B\) em \(r\)).
Determine, em graus, a medida do ângulo \(\widehat{AÊB}\).
Determine, em graus, a medida do ângulo \(\widehat{AÊB}\).
👀 Solução passo a passo
1) Ângulos no triângulo isósceles \(AOM\).
Como \(OA=OM\) (raios), o triângulo \(AOM\) é isósceles e \[ \angle OAM=\angle AMO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ. \] A tangente em \(M\) é perpendicular a \(OM\); logo, o ângulo entre a corda \(AM\) e a tangente \(r\) é \[ \angle(AM,r)=90^\circ-\angle AMO=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \] Em particular, no triângulo \(AEM\), \[ \angle EMA=50^\circ. \tag{1} \]
2) Por que \(D\) é o ponto médio de \(\overline{EM}\).
A projeção ortogonal em \(r\) é uma transformação afim e, portanto, preserva pontos médios. Como \(A\) é o ponto médio de \(\overline{OB}\), sua projeção \(D\) é o ponto médio da projeção de \(\overline{OB}\), que é \(\overline{EM}\). Assim: \[ D \text{ é o ponto médio de } \overline{EM}. \tag{2} \] Pelo próprio enunciado, \(AD\perp r=EM\), ou seja, \(AD\) é altura do triângulo \(AEM\). Juntando com (2), \(AD\) é altura e mediana de \(AEM\); logo \(AEM\) é isósceles, com \[ AE=AM \quad\text{e}\quad \angle AEM=\angle EMA. \tag{3} \]
3) Conclusão.
De (1) e (3), \[ \angle AEM=\angle EMA=50^\circ. \] Como \(EB\perp r\) e \(\angle AEM\) é o ângulo de \(EA\) com \(r\), segue que \[ \widehat{AÊB}=90^\circ-\angle AEM=90^\circ-50^\circ=40^\circ. \]
Como \(OA=OM\) (raios), o triângulo \(AOM\) é isósceles e \[ \angle OAM=\angle AMO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ. \] A tangente em \(M\) é perpendicular a \(OM\); logo, o ângulo entre a corda \(AM\) e a tangente \(r\) é \[ \angle(AM,r)=90^\circ-\angle AMO=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \] Em particular, no triângulo \(AEM\), \[ \angle EMA=50^\circ. \tag{1} \]
2) Por que \(D\) é o ponto médio de \(\overline{EM}\).
A projeção ortogonal em \(r\) é uma transformação afim e, portanto, preserva pontos médios. Como \(A\) é o ponto médio de \(\overline{OB}\), sua projeção \(D\) é o ponto médio da projeção de \(\overline{OB}\), que é \(\overline{EM}\). Assim: \[ D \text{ é o ponto médio de } \overline{EM}. \tag{2} \] Pelo próprio enunciado, \(AD\perp r=EM\), ou seja, \(AD\) é altura do triângulo \(AEM\). Juntando com (2), \(AD\) é altura e mediana de \(AEM\); logo \(AEM\) é isósceles, com \[ AE=AM \quad\text{e}\quad \angle AEM=\angle EMA. \tag{3} \]
3) Conclusão.
De (1) e (3), \[ \angle AEM=\angle EMA=50^\circ. \] Como \(EB\perp r\) e \(\angle AEM\) é o ângulo de \(EA\) com \(r\), segue que \[ \widehat{AÊB}=90^\circ-\angle AEM=90^\circ-50^\circ=40^\circ. \]
Resposta: \(\boxed{40^\circ}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 6 — 2ª Fase
