ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 3 — Progressão Geométrica
O primeiro termo de uma PG de números reais é \(1\) e a soma dos seus primeiros \(79\) termos é
igual ao produto dos seus primeiros \(13\) termos. Determine:
a) a soma dos \(40\) primeiros termos;
b) o produto dos \(7\) primeiros termos.
a) a soma dos \(40\) primeiros termos;
b) o produto dos \(7\) primeiros termos.
👀 Solução passo a passo
Seja a PG \( (1, q, q^2, \ldots)\) com razão \(q\).
O produto dos \(13\) primeiros termos é
\[
P_{13}=1\cdot q\cdot q^2\cdots q^{12}=q^{0+1+\cdots+12}=q^{78}.
\]
A soma dos \(79\) primeiros termos, para \(q\neq 1\), é
\[
S_{79}=\frac{q^{79}-1}{q-1}.
\]
Do enunciado, \(S_{79}=P_{13}\):
\[
\frac{q^{79}-1}{q-1}=q^{78}
\;\Longrightarrow\; q^{79}-1=q^{79}-q^{78}
\;\Longrightarrow\; q^{78}=1.
\]
Como \(q\in\mathbb{R}\), as soluções são \(q=\pm 1\). Porém, se \(q=1\), então
\(P_{13}=1\) e \(S_{79}=79\neq 1\). Logo, necessariamente
\[
\boxed{q=-1}.
\]
a) Soma dos 40 primeiros termos
\[ S_{40}=\frac{q^{40}-1}{q-1}=\frac{(-1)^{40}-1}{-2}=\frac{1-1}{-2}=0. \] b) Produto dos 7 primeiros termos
\[ P_{7}=q^{0+1+\cdots+6}=q^{21}=(-1)^{21}=-1. \]
\[ S_{40}=\frac{q^{40}-1}{q-1}=\frac{(-1)^{40}-1}{-2}=\frac{1-1}{-2}=0. \] b) Produto dos 7 primeiros termos
\[ P_{7}=q^{0+1+\cdots+6}=q^{21}=(-1)^{21}=-1. \]
Resposta: a) \(0\) b) \(-1\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 2
