ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 4 — Geometria Analítica
Determine todos os pontos \((x,y)\) que pertencem à circunferência de centro \((5,0)\) e raio \(5\) e satisfazem
\[
\sqrt{\,3x-y-4\,}=\sqrt{\,x^{2}-7x-5y-4\,}.
\]
👀 Solução passo a passo
A circunferência é
\[
(x-5)^2+y^2=5^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2+y^2-10x=0. \tag{1}
\]
Como as raízes quadradas são iguais (e não negativas), os radicandos coincidem:
\[
3x-y-4=x^2-7x-5y-4 \;\Longleftrightarrow\; x^2-10x-4y=0. \tag{2}
\]
Subtraindo \((2)\) de \((1)\):
\[
(x^2+y^2-10x)-(x^2-10x-4y)=y^2+4y=0
\;\Longrightarrow\; y\in\{0,-4\}. \tag{3}
\]
• Se \(y=0\), de \((1)\): \(x^2-10x=0\Rightarrow x=0\) ou \(x=10\).
Verificando a não negatividade dos radicandos, \(x=0\) não serve; \(x=10\) serve.
Assim, \((10,0)\).
• Se \(y=-4\), de \((1)\): \(x^2-10x+16=0\Rightarrow x=2\) ou \(x=8\). Ambos satisfazem os radicandos \(\ge 0\). Assim, \((2,-4)\) e \((8,-4)\).
• Se \(y=-4\), de \((1)\): \(x^2-10x+16=0\Rightarrow x=2\) ou \(x=8\). Ambos satisfazem os radicandos \(\ge 0\). Assim, \((2,-4)\) e \((8,-4)\).
Soluções: \(\boxed{(10,0),\ (2,-4),\ (8,-4)}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 3
