ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 4 — Análise Combinatória (Jogo da Velha)
No jogo da velha, dois jogadores competem em um tabuleiro \(3\times3\).
Os jogadores se alternam marcando uma casa ainda não ocupada até que um deles complete
uma linha, coluna ou diagonal, sendo declarado vencedor.
Quantas configurações diferentes do tabuleiro correspondem à vitória do primeiro jogador na sua 3ª jogada?
Quantas configurações diferentes do tabuleiro correspondem à vitória do primeiro jogador na sua 3ª jogada?
👀 Solução passo a passo
• O 1º jogador vence em sua 3ª jogada ⟹ ele marca 3 casas, enquanto o 2º jogador marca 2 casas.
• Assim, o 1º jogador forma uma trinca em linha, coluna ou diagonal.
1) Trinca em uma linha:
– Escolha a linha: \(3\) possibilidades.
– As duas jogadas do 2º jogador podem estar entre as \(6\) casas restantes:
\[ \binom{6}{2}=15. \] Total: \(3\cdot15=45\).
2) Trinca em uma coluna:
– Escolha a coluna: \(3\) possibilidades.
– As duas jogadas do 2º jogador entre as \(6\) casas restantes:
\(\binom{6}{2}=15.\)
Total: \(3\cdot15=45\).
3) Trinca em uma diagonal:
– Escolha a diagonal: \(2\) possibilidades.
– Jogadas do 2º jogador: \(\binom{6}{2}=15\).
Total: \(2\cdot15=30\).
4) Soma total:
\[ 45+45+30=120. \]
• Assim, o 1º jogador forma uma trinca em linha, coluna ou diagonal.
1) Trinca em uma linha:
– Escolha a linha: \(3\) possibilidades.
– As duas jogadas do 2º jogador podem estar entre as \(6\) casas restantes:
\[ \binom{6}{2}=15. \] Total: \(3\cdot15=45\).
2) Trinca em uma coluna:
– Escolha a coluna: \(3\) possibilidades.
– As duas jogadas do 2º jogador entre as \(6\) casas restantes:
\(\binom{6}{2}=15.\)
Total: \(3\cdot15=45\).
3) Trinca em uma diagonal:
– Escolha a diagonal: \(2\) possibilidades.
– Jogadas do 2º jogador: \(\binom{6}{2}=15\).
Total: \(2\cdot15=30\).
4) Soma total:
\[ 45+45+30=120. \]
Resposta final: \(\;120\) configurações possíveis.
