ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 45 — Complexos & Área no Plano
Considere o polinômio \(p(z)=z^{4}-6z^{3}+14z^{2}-6z+13\) e note que \(p(i)=0\).
Considere, no plano complexo, o quadrilátero cujos vértices são as raízes de \(p(z)\).
Podemos afirmar que a área desse quadrilátero é
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
👀 Solução passo a passo
Ideia: achar todas as raízes e ver o polígono no plano \(z=x+iy\). Será um trapézio com lados paralelos ao eixo imaginário.
1) Conjugados vêm juntos:Como \(p\) tem coeficientes reais e \(p(i)=0\), também \(p(-i)=0\). Logo, \((z-i)(z+i)=z^{2}+1\) divide \(p(z)\). Façamos a divisão: \[ p(z)=(z^{2}+1)\,q(z),\qquad q(z)=z^{2}-6z+13. \] 2) Outras duas raízes:
Resolva \(q(z)=0\): \[ z=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i. \] Assim, as quatro raízes são \[ i,\ -i,\ 3+2i,\ 3-2i. \] 3) Forma geométrica:
No plano de Argand-Gauss, os pontos têm abscissas \(0\) e \(3\). Segmento vertical em \(x=0\): de \(-i\) a \(i\), comprimento \(2\). Segmento vertical em \(x=3\): de \(3-2i\) a \(3+2i\), comprimento \(4\). A distância entre as retas \(x=0\) e \(x=3\) é \(3\). Portanto, o quadrilátero é um trapézio isósceles. 4) Área do trapézio:
\[ \text{Área}=\frac{\text{soma das bases}}{2}\cdot \text{altura} =\frac{2+4}{2}\cdot 3 = 3\cdot 3 = 9. \]
Resposta: 9 (alternativa d)
