ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 53 — Geometria Plana
Sejam \( \alpha, \beta, \theta \) ângulos internos de um triângulo. Se
\(\displaystyle \cos(\beta+\theta)\le \cos(\alpha+2\beta)\),
podemos afirmar que:
a) O triângulo não é isósceles.
b) O triângulo é retângulo.
c) O triângulo não é acutângulo.
d) O triângulo não é obtusângulo.
e) Não se pode garantir nenhum dos itens anteriores.
b) O triângulo é retângulo.
c) O triângulo não é acutângulo.
d) O triângulo não é obtusângulo.
e) Não se pode garantir nenhum dos itens anteriores.
👀 Solução passo a passo
1) Relações entre os ângulos internos:
\[ \alpha+\beta+\theta=180^\circ \ \Rightarrow\ \beta+\theta=180^\circ-\alpha,\quad \alpha+2\beta=180^\circ-\theta. \]2) Usando a monotonicidade de \(\cos\) em \([0^\circ,180^\circ]\):
Em \([0^\circ,180^\circ]\) a função \(x\mapsto \cos x\) é estritamente decrescente. Logo, \[ \cos(\beta+\theta)\le \cos(\alpha+2\beta) \ \Longleftrightarrow\ \beta+\theta \ge \alpha+2\beta \ \Longleftrightarrow\ \theta \ge \alpha+\beta = 180^\circ-\theta. \] Portanto, \[ \theta \ge 90^\circ. \]3) Conclusão:
Um ângulo interno \(\ge 90^\circ\) implica que o triângulo não é acutângulo.
\[ \alpha+\beta+\theta=180^\circ \ \Rightarrow\ \beta+\theta=180^\circ-\alpha,\quad \alpha+2\beta=180^\circ-\theta. \]2) Usando a monotonicidade de \(\cos\) em \([0^\circ,180^\circ]\):
Em \([0^\circ,180^\circ]\) a função \(x\mapsto \cos x\) é estritamente decrescente. Logo, \[ \cos(\beta+\theta)\le \cos(\alpha+2\beta) \ \Longleftrightarrow\ \beta+\theta \ge \alpha+2\beta \ \Longleftrightarrow\ \theta \ge \alpha+\beta = 180^\circ-\theta. \] Portanto, \[ \theta \ge 90^\circ. \]3) Conclusão:
Um ângulo interno \(\ge 90^\circ\) implica que o triângulo não é acutângulo.
Resposta: c) O triângulo não é acutângulo.
