ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 9 — Geometria Plana / Analítica
Sejam \(P_1=(0,6)\), \(P_2=(1,5)\) e \(P_3=(2,6)\) e sejam \(C_1,C_2,C_3\) circunferências
centradas em \(P_1,P_2,P_3\), respectivamente. Sabendo que existe uma reta horizontal \(\ell\)
que é tangente a \(C_1,C_2\) e \(C_3\), determine \(C_1\cap C_2\cap C_3\) quando este não for vazio.
👀 Solução passo a passo
Como \(P_1P_3\) é horizontal e a tangente comum \(\ell\) também é horizontal, os raios de
\(C_1\) e \(C_3\) são iguais: chame-os de \(r\).
As interseções \(C_1\cap C_3\) são simétricas em relação à reta \(x=1\) (ponto médio de \(P_1P_3\)). Escreva, portanto, \[ A=(1,6+x),\qquad B=(1,6-x),\qquad x>0. \] Do triângulo retângulo \(P_1AB\), \[ r^2=AP_1^2=1^2+x^2\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{1+x^2}. \tag{1} \] A reta \(\ell\) deve estar mais próxima de \(B\) que de \(A\) (caso contrário, não seria tangente a \(C_2\)); logo \(B\in C_2\). Desse modo, o raio de \(C_2\) é \[ r_2=BP_2=|6-x-5|=1-x. \tag{2} \] Se \(T_2\) é o ponto de tangência de \(C_2\) com \(\ell\) e \(T_3\) o de \(C_3\) com \(\ell\), então, como \(\ell\) é horizontal, \[ MT_2=MP_2+P_2T_2=1+(1-x),\qquad P_3T_3=r, \] onde \(M=(1,6)\). Como os dois segmentos são alturas “até” a mesma reta \(\ell\), \[ MT_2=P_3T_3 \;\Rightarrow\; 1+(1-x)=\sqrt{1+x^2}. \tag{3} \] Elevando ao quadrado, \[ (2-x)^2=1+x^2\;\Rightarrow\;x=\frac{3}{4}. \] Portanto, \[ B=(1,6-x)=\left(1,\frac{21}{4}\right). \] Verifica-se que esse ponto satisfaz (1) e pertence a \(C_2\) por (2). Assim, \[ C_1\cap C_2\cap C_3=\left\{\left(1,\frac{21}{4}\right)\right\}. \]
As interseções \(C_1\cap C_3\) são simétricas em relação à reta \(x=1\) (ponto médio de \(P_1P_3\)). Escreva, portanto, \[ A=(1,6+x),\qquad B=(1,6-x),\qquad x>0. \] Do triângulo retângulo \(P_1AB\), \[ r^2=AP_1^2=1^2+x^2\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{1+x^2}. \tag{1} \] A reta \(\ell\) deve estar mais próxima de \(B\) que de \(A\) (caso contrário, não seria tangente a \(C_2\)); logo \(B\in C_2\). Desse modo, o raio de \(C_2\) é \[ r_2=BP_2=|6-x-5|=1-x. \tag{2} \] Se \(T_2\) é o ponto de tangência de \(C_2\) com \(\ell\) e \(T_3\) o de \(C_3\) com \(\ell\), então, como \(\ell\) é horizontal, \[ MT_2=MP_2+P_2T_2=1+(1-x),\qquad P_3T_3=r, \] onde \(M=(1,6)\). Como os dois segmentos são alturas “até” a mesma reta \(\ell\), \[ MT_2=P_3T_3 \;\Rightarrow\; 1+(1-x)=\sqrt{1+x^2}. \tag{3} \] Elevando ao quadrado, \[ (2-x)^2=1+x^2\;\Rightarrow\;x=\frac{3}{4}. \] Portanto, \[ B=(1,6-x)=\left(1,\frac{21}{4}\right). \] Verifica-se que esse ponto satisfaz (1) e pertence a \(C_2\) por (2). Assim, \[ C_1\cap C_2\cap C_3=\left\{\left(1,\frac{21}{4}\right)\right\}. \]
Resposta final: \(\displaystyle C_1\cap C_2\cap C_3=\left\{\left(1,\frac{21}{4}\right)\right\}\).
