Matrizes associadas a um sistema linear
Todo sistema linear pode ser escrito de forma matricial \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), onde \(A\) é a matriz dos coeficientes, \(\mathbf{x}\) o vetor de incógnitas e \(\mathbf{b}\) o vetor dos termos independentes. Ao lado, juntando \(\mathbf{b}\) como última coluna obtemos a matriz aumentada \([A\mid\mathbf{b}]\), essencial para escalonar e classificar (SPD, SI, SPI). Para continuar seus estudos, veja: eliminação de Gauss, classificação de sistemas, método da adição e solução de um sistema linear.
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Resumo de A, x, b, matriz aumentada, Rouché–Capelli, Gauss/Gauss–Jordan, Regra de Cramer e classificação (SPD, SI, SPI). Perfeito para revisão rápida.
Quero o eBook Praticar no Banco de QuestõesComo montar as matrizes do sistema
Considere o sistema com incógnitas na ordem \(x,y,z\):
\(\begin{cases} x+y-2z=0\\ x-2y+z=3\\ 2x-y-z=-4 \end{cases}\)
- Matriz dos coeficientes \(A\): \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1&-2\\[2px] 1&-2&1\\[2px] 2&-1&-1 \end{bmatrix} \)
- Vetor de incógnitas \(\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\), vetor de termos independentes \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}\).
- Matriz aumentada \([A\mid\mathbf{b}]= \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&0\\ 1&-2&1&3\\ 2&-1&-1&-4 \end{array}\right]\).
Operações elementares (linhas) ≙ operações no sistema
As seguintes operações em linhas de \([A\mid\mathbf{b}]\) preservam a equivalência do sistema:
- Trocar duas linhas \((L_i \leftrightarrow L_j)\) ≙ trocar duas equações;
- Multiplicar uma linha por \(\lambda\neq0\) ≙ multiplicar a equação por \(\lambda\);
- Somar a uma linha um múltiplo de outra \((L_i\gets L_i+\lambda L_j)\) ≙ combinar equações.
Com elas você escalona \([A\mid\mathbf{b}]\), compara postos (ranks) e decide a classe pelo
Teorema de Rouché–Capelli:
\(r(A)\neq r([A\mid\mathbf{b}])\Rightarrow\) SI;
\(r(A)=r([A\mid\mathbf{b}])=n\Rightarrow\) SPD;
\(r(A)=r([A\mid\mathbf{b}])
Classifique usando a matriz aumentada
\([A\mid\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&0\\ 1&-2&1&3\\ 2&-1&-1&-4 \end{array}\right]\)
Escalonando
\(L_2\gets L_2-L_1\Rightarrow [0,-3,3\mid 3]\). \(L_3\gets L_3-2L_1\Rightarrow [0,-3,3\mid -4]\). \(L_3\gets L_3-L_2\Rightarrow [0,0,0\mid -7]\).
Surge uma linha \([0\ 0\ 0\mid -7]\) (contradição). Logo \(r(A)=2\) e \(r([A\mid\mathbf{b}])=3\). Conclusão: o sistema é SI (incompatível, sem solução).
Mais exemplos (A, b, [A|b])
SPD — determinante não nulo
\(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=7\\ -x+2y-z=-1 \end{cases}\) com \(A= \begin{bmatrix}1&1&1\\ 2&-1&1\\ -1&2&-1\end{bmatrix}\).
Classificação e solução
\(\det(A)=3\neq0\Rightarrow\) SPD. Solução por eliminação: \((x,y,z)=\big(\tfrac{13}{3},\tfrac{5}{3},0\big)\).
SPI — linhas proporcionais
\(\begin{cases} x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=6\\ 3x+3y+3z=9 \end{cases}\)
Classificação e forma paramétrica
\(r(A)=r([A\mid\mathbf{b}])=1<3\Rightarrow\) SPI. Do 1º plano: \(x=3-y-z\). Parâmetros \(y=s,\ z=t\): \(S=\{(3-s-t,s,t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}\).
Exercícios (com gabarito)
1) Para o sistema do cartaz, escreva \(A\), \(\mathbf{b}\) e \([A\mid\mathbf{b}]\) e classifique.
Gabarito
Como acima: \(A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\2&-1&-1\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}\); após Gauss, \([0,0,0\mid-7]\) ⇒ \(r(A)=2\), \(r_a=3\) ⇒ SI.
2) Monte \([A\mid\mathbf{b}]\) e resolva: \(\{\,x-2y=3,\ 2x-4y=6,\ -x+2y=-3\,\}\).
Gabarito
Linhas proporcionais ⇒ \(r=r_a=1<2\) ⇒ SPI. Tome \(y=t\Rightarrow x=3+2t\).
3) Seja \(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&k\end{bmatrix}\) e \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}\). Classifique em função de \(k\) e, quando houver, resolva.
Gabarito
Se \(k\neq0\): \(\det(A)\neq0\) ⇒ SPD com \((x,y,z)=(1,2,0)\). Se \(k=0\): terceira linha vira \(0=0\) ⇒ \(r=r_a=2<3\) ⇒ SPI, com \(z\) livre.
4) Sistema \(2\times2\) com parâmetro: \(\{\,x+ky=1,\ 2x+2ky=m\,\}\). Monte \([A\mid\mathbf{b}]\) e classifique.
Gabarito
\([A\mid\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{cc|c}1&k&1\\2&2k&m\end{array}\right]\).
LHS é o dobro na 2ª linha. Se \(m=2\) ⇒ \(r=r_a=1<2\) ⇒ SPI;
se \(m\neq2\) ⇒ \(r
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Conclusão
Escrever \(A\), \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{b}\) e \([A\mid\mathbf{b}]\) organiza o sistema e abre caminho para Gauss, Cramer e Rouché–Capelli. Com isso você classifica rapidamente e encontra o conjunto-solução (ponto único, vazio ou família paramétrica).
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