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Números de Fibonacci — Conceito, Propriedades e Exercícios
História da sequência
A sequência de Fibonacci foi introduzida no Ocidente pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, no livro Liber Abaci (1202). Ela descreve o crescimento populacional de coelhos e tornou-se uma das mais famosas sequências da matemática.
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Definição e fórmula
A sequência de Fibonacci é definida como:
\[
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad \text{para } n \geq 2
\]
Os primeiros termos são:
\[
0,\,1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,\dots
\]
Propriedades principais
- Cada termo é a soma dos dois anteriores.
- A razão entre termos consecutivos aproxima-se do número áureo \(\phi\).
- Está presente na natureza, artes e arquitetura.
Relação com o número áureo
O número áureo \(\phi\) é definido como:
\[
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618
\]
À medida que \(n\) cresce, a razão \(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\) tende a \(\phi\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Encontre o \(10^\circ\) termo da sequência:
\[
F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21 = 55
\]
Exemplo 2
Mostre que \(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\) aproxima-se de \(\phi\) para \(n=10\):
\[
\frac{F_{11}}{F_{10}} = \frac{89}{55} \approx 1,618
\]
Aplicações práticas
- Modelagem de crescimento populacional.
- Padrões na natureza (conchas, flores, galáxias).
- Design gráfico e arquitetura.
Exercícios propostos
- Determine o \(12^\circ\) termo da sequência.
- Mostre que \(\dfrac{F_8}{F_7}\) aproxima \(\phi\).
- Liste os cinco primeiros termos após \(F_{10}\).
Gabarito
1) \(F_{12} = 144\).
2) \(\dfrac{21}{13} \approx 1,615\), próximo de \(\phi\).
3) \(55,\,89,\,144,\,233,\,377\).
Leituras relacionadas
Resumo e materiais
- ✔ Sequência famosa definida pela soma dos dois termos anteriores.
- ✔ Relação com o número áureo \(\phi\).
- ✔ Aplicações práticas na natureza, artes e ciência.
