Números Irracionais — Definição, Exemplos, Propriedades e Exercícios
Definição e relação com os Reais
Números irracionais são os reais que não podem ser escritos como fração de inteiros com denominador não nulo:
Para situar no diagrama dos conjuntos, veja Naturais, Inteiros, Racionais, a união em Reais e detalhes de escrita em Decimais.
Exemplos clássicos de Irracionais
- \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) … (raízes não exatas de inteiros positivos que não são quadrados perfeitos)
- \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\) — razão entre perímetro e diâmetro de qualquer circunferência
- \(e \approx 2{,}71828\ldots\) — base dos logaritmos naturais
- \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) — número de ouro
Propriedades importantes
Não-fechamento
O conjunto dos irracionais não é fechado para as operações usuais: a soma ou o produto de irracionais pode ser racional (ex.: \(\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)=2\)).
Resultados típicos (em geral)
- Racional \(+\) irracional → irracional (desde que o racional seja não nulo).
- Racional \(\times\) irracional → irracional (desde que o racional seja não nulo).
- Entre dois racionais existe um irracional; entre dois irracionais existe um racional (ambos são densos em \(\mathbb{R}\)).
Cuidado: “irracional ± irracional é irracional” é falso em geral (contraexemplos existem).
Radicais: simplificação e racionalização
Simplificação
Racionalização de denominadores
Aproximações e intervalos
Use desigualdades para localizar irracionais na reta numérica.
Com mais iterações (métodos como bisseção ou Newton), obtemos aproximações tão precisas quanto desejarmos.
Ideia da prova de que \(\sqrt{2}\) é irracional
Por contradição: suponha \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) com \(p,q\in\mathbb{Z}\) coprimos. Então \(2=\dfrac{p^2}{q^2}\Rightarrow p^2=2q^2\), logo \(p^2\) é par ⇒ \(p\) é par. Escreva \(p=2k\). Substituindo, \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\) ⇒ \(q\) também é par. Contradição, pois \(p\) e \(q\) não eram ambos pares. Assim, \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Classificação
Enunciado: Classifique cada número como racional ou irracional: \( \sqrt{18},\ \dfrac{22}{7},\ 0{,}\overline{142857},\ \sqrt{36} \).
Solução
- \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) (irracional).
- \(\dfrac{22}{7}\) é fração de inteiros (racional).
- \(0{,}\overline{142857}\) é dízima periódica (racional).
- \(\sqrt{36}=6\) (racional).
Exemplo 2 — Racionalização
Enunciado: Racionalize \(\dfrac{5}{2+\sqrt{3}}\).
Solução
Multiplique por o conjugado: \(\dfrac{5}{2+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{5(2-\sqrt{3})}{4-3}=5(2-\sqrt{3})=10-5\sqrt{3}.\)
Exemplo 3 — Aproximação
Enunciado: Encontre um intervalo de largura \(0{,}1\) que contenha \(\sqrt{5}\).
Solução
\(2{,}2^2=4{,}84<5<5{,}29=2{,}3^2\Rightarrow 2{,}2<\sqrt{5}<2{,}3\). Intervalo: \((2{,}2,\ 2{,}3)\).
Exercícios Propostos
- (Classificação) Diga se é racional ou irracional: \( \sqrt{45},\ \dfrac{7}{25},\ 0{,}\overline{09},\ \pi-3 \).
- (Simplificação) Escreva \(\sqrt{72}\) na forma \(a\sqrt{b}\) com \(b\) livre de quadrados perfeitos.
- (Racionalização) Racionalize \(\dfrac{3}{\sqrt{2}-1}\).
- (Operações) Mostre que \(2+\sqrt{3}\) é irracional.
- (Aproximação) Encontre \(n\) inteiro tal que \(n \le 100\sqrt{2} < n+1\).
Gabarito (clique para ver)
1) \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) (irracional); \(7/25\) (racional); \(0,\overline{09}\) (racional); \(\pi-3\) (irracional).
2) \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\).
3) \(\dfrac{3}{\sqrt{2}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{3(\sqrt{2}+1)}{2-1}=3\sqrt{2}+3.\)
4) Se fosse racional, então \(\sqrt{3}\) seria \( (2+\sqrt{3})-2\), diferença de racionais ⇒ \(\sqrt{3}\) seria racional (contradição). Logo é irracional.
5) \(\sqrt{2}\approx1{,}414213\Rightarrow 100\sqrt{2}\approx141{,}4213\). Assim \(n=141\).
Leituras Relacionadas
Dica: use Ctrl + F para localizar rapidamente fórmulas nesta página.
Resumo e Materiais
- ✔ Definição: \(\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)
- ✔ Exemplos: \(\sqrt{2}, \pi, e, \varphi\)
- ✔ Técnicas: simplificação de radicais, racionalização e aproximações
- ✔ Exercícios com gabarito
