Números Perfeitos — Definição, História, Exemplos e Exercícios

Atualizado em 23 de agosto de 2025 • Leitura: ~15 min • Conteúdo com teoria, exemplos e exercícios

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O que são números perfeitos?

Um número perfeito é um número natural igual à soma de seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo).

\[ n\ \text{é perfeito se}\ \sigma(n)=2n,\quad \sigma(n)=\text{soma dos divisores positivos de } n. \]

Por exemplo, \(6\) é perfeito pois \(1+2+3=6\).

História dos números perfeitos

Os números perfeitos fascinam matemáticos desde a Grécia Antiga. Pitágoras e seus discípulos foram os primeiros a estudá-los, associando-os à harmonia do universo.

O quarto número perfeito só foi descoberto no século I por Nicômaco de Gerasa. Hoje sabemos que todos os números perfeitos pares conhecidos estão ligados aos números primos de Mersenne.

Exemplos clássicos

Os primeiros números perfeitos conhecidos são:

\(6 = 1+2+3\)
\(28 = 1+2+4+7+14\)
\(496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248\)
\(8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064\)

Números primos de Mersenne

Números primos de Mersenne são da forma \(M_p=2^p-1\), onde \(p\) é primo. Todo número perfeito par conhecido pode ser escrito como:

\[ N=2^{p-1}(2^p-1), \]

onde \((2^p-1)\) é primo de Mersenne.

Teorema de Euclides-Euler

O teorema afirma que:

Todo número perfeito par pode ser escrito como \(2^{p-1}(2^p-1)\).
Não se sabe se existem números perfeitos ímpares.

Propriedades dos números perfeitos

Todos os números perfeitos conhecidos são pares.
Estão diretamente relacionados aos números primos de Mersenne.
São raríssimos: apenas 51 são conhecidos até hoje.

Curiosidades matemáticas

O próximo número perfeito conhecido após \(8128\) é gigantesco, com milhões de dígitos.
O estudo de números perfeitos impulsiona pesquisas sobre criptografia e teoria dos números.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Verificando se um número é perfeito

Enunciado: Verifique se \(28\) é um número perfeito.

Solução

Divisores de \(28\): \(1,2,4,7,14\). Soma: \(1+2+4+7+14=28\) ⇒ número perfeito.

Exemplo 2 — Calculando número perfeito via Mersenne

Enunciado: Para \(p=5\), determine o número perfeito correspondente.

Solução

Primo de Mersenne: \(2^5-1=31\). Logo, \(N=2^{5-1}\cdot31=2^4\cdot31=16\cdot31=496\).

Exercícios Propostos

Mostre que \(6\) é um número perfeito.
Determine se \(12\) é um número perfeito.
Calcule o número perfeito para \(p=7\).
Explique a relação entre números perfeitos e primos de Mersenne.
É conhecido algum número perfeito ímpar? Justifique.

Gabarito

1) \(1+2+3=6\) ⇒ perfeito.
2) Divisores próprios de \(12\): \(1,2,3,4,6\). Soma: \(1+2+3+4+6=16\neq12\) ⇒ não perfeito.
3) Para \(p=7\): \(2^{7-1}(2^7-1)=2^6\cdot127=64\cdot127=8128\).
4) Todo número perfeito par conhecido depende de primos de Mersenne.
5) Não. Até hoje nenhum número perfeito ímpar foi encontrado.