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Números Racionais: aprenda frações, decimais e exercícios resolvidos

Os números racionais estão presentes em diversas situações do cotidiano, principalmente quando trabalhamos com frações, divisões, porcentagens, medidas e números decimais.

Esse conjunto é extremamente importante na Matemática Básica e aparece frequentemente em provas escolares, ENEM, vestibulares e concursos públicos.

Resumo completo sobre números racionais

O que são números racionais?

Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração.

\( \frac{a}{b} \)

Onde:

  • \(a\) e \(b\) são números inteiros;
  • \(b\neq0\).
\( \mathbb{Q}= \left\{ \frac{a}{b} \mid a,b\in\mathbb{Z} \text{ e } b\neq0 \right\} \)
Importante: toda fração representa um número racional.

Exemplos de números racionais

Veja alguns exemplos:

\( \frac{3}{4}, -\frac{2}{5}, \frac{7}{1}, -\frac{9}{3}, 0=\frac{0}{1} \)

Todos esses números podem ser escritos em forma de fração, portanto pertencem ao conjunto dos números racionais.

Formas de representação dos números racionais

1. Fração

\( \frac{5}{8} \)

2. Decimal exato

\( \frac{1}{4}=0,25 \)

3. Decimal periódico

\( \frac{1}{3}=0,333\ldots \)

4. Número inteiro

\( -2=\frac{-2}{1} \)
Dica: todo número inteiro também é racional, pois pode ser escrito com denominador igual a 1.

Representação na reta numérica

Os números racionais podem ser localizados na reta numérica. Frações e números decimais ocupam posições específicas entre os números inteiros.

\( -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \)

Por exemplo:

  • \(\frac{1}{2}\) fica entre 0 e 1;
  • \(\frac{3}{2}\) fica entre 1 e 2;
  • \(-\frac{1}{2}\) fica entre -1 e 0.

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada dividindo numerador e denominador pelo mesmo número, diferente de zero.

\( \frac{12}{18} = \frac{12\div6}{18\div6} = \frac{2}{3} \)

A simplificação facilita os cálculos e torna a fração mais simples de interpretar.

Operações com números racionais

Adição de frações

Para somar frações com denominadores diferentes, precisamos encontrar um denominador comum.

\( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \)

Exemplo:

\( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)

Subtração de frações

\( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd} \)

Exemplo:

\( \frac{5}{6}-\frac{1}{3} = \frac{5}{6}-\frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Multiplicação de frações

\( \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)

Exemplo:

\( \frac{2}{3}\times\frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)

Divisão de frações

Na divisão, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.

\( \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times\frac{d}{c} \)

Exemplo:

\( \frac{3}{5}\div\frac{2}{7} = \frac{3}{5}\times\frac{7}{2} = \frac{21}{10} \)
Atenção: o denominador de uma fração nunca pode ser zero.

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Exercícios resolvidos sobre números racionais

Questão 1. Determine se o número \(\frac{7}{3}\) é racional.

Ver solução

O número está escrito na forma de fração.

\( \frac{7}{3} \)

Como o denominador é diferente de zero, o número pertence ao conjunto dos racionais.

Resposta: sim, é racional.

Questão 2. Simplifique a fração \(\frac{18}{24}\).

Ver solução

Dividimos numerador e denominador por 6.

\( \frac{18}{24} = \frac{18\div6}{24\div6} = \frac{3}{4} \)

Resposta: \(\frac{3}{4}\).

Questão 3. Calcule:

\( \frac{1}{4}+\frac{3}{8} \)
Ver solução

O MMC entre 4 e 8 é 8.

\( \frac{1}{4}=\frac{2}{8} \)
\( \frac{2}{8}+\frac{3}{8} = \frac{5}{8} \)

Resposta: \(\frac{5}{8}\).

Questão 4. Calcule:

\( \frac{7}{10}-\frac{1}{5} \)
Ver solução
\( \frac{1}{5}=\frac{2}{10} \)
\( \frac{7}{10}-\frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Resposta: \(\frac{1}{2}\).

Questão 5. Determine o resultado:

\( \frac{2}{3}\times\frac{9}{4} \)
Ver solução
\( \frac{2\times9}{3\times4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \)

Resposta: \(\frac{3}{2}\).

Questão 6. Calcule:

\( \frac{5}{6}\div\frac{2}{3} \)
Ver solução

Multiplicamos pela inversa da segunda fração.

\( \frac{5}{6}\times\frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \)

Resposta: \(\frac{5}{4}\).

Questão 7. Transforme \(\frac{1}{2}\) em decimal.

Ver solução
\( 1\div2=0,5 \)

Resposta: \(0,5\).

Questão 8. Transforme o decimal \(0,25\) em fração.

Ver solução
\( 0,25=\frac{25}{100} \)
\( \frac{25}{100}=\frac{1}{4} \)

Resposta: \(\frac{1}{4}\).

Questão 9. Determine o valor de:

\( -\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \)
Ver solução
\( \frac{-3+1}{5} = \frac{-2}{5} \)

Resposta: \(-\frac{2}{5}\).

Questão 10. Determine se o número \(0,333\ldots\) é racional.

Ver solução

O decimal periódico pode ser escrito em forma de fração.

\( 0,333\ldots=\frac{1}{3} \)

Logo, ele pertence ao conjunto dos números racionais.

Resumo sobre números racionais

Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração. Eles incluem:

  • Frações;
  • Números inteiros;
  • Decimais exatos;
  • Decimais periódicos.

As operações com números racionais envolvem regras específicas para adição, subtração, multiplicação e divisão de frações.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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