A Permutação Simples é um dos conceitos centrais da Análise Combinatória. Ela aparece quando utilizamos todos os elementos disponíveis e a ordem importa.
Em termos práticos: se trocar a posição dos elementos muda o resultado, estamos diante de uma permutação.
O que é Permutação Simples?
Em uma permutação simples:
- temos n elementos distintos;
- todos os elementos são utilizados;
- a ordem importa;
- não há repetição.
A permutação pode ser vista como um caso particular do Princípio Fundamental da Contagem , em que as opções diminuem a cada etapa.
O símbolo ! indica o fatorial, ou seja:
Quando usar Permutação Simples?
Use permutação simples quando:
- todos os elementos são utilizados;
- a ordem altera o resultado;
- não há repetição de elementos.
Se você utiliza apenas parte dos elementos, o correto é arranjo simples. Se a repetição for permitida, entra em permutação com repetição. Se a ordem não importar, normalmente usamos combinação simples.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: De quantas formas diferentes podemos ordenar 4 pessoas em uma fila?
Ver solução
Todos os 4 elementos são usados e a ordem importa:
\[ P_4 = 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24 \]Resposta: \(\boxed{24}\).
Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados com as letras A, B e C?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{6}\).
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Quantas maneiras diferentes existem de ordenar 5 livros distintos em uma estante?
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Resposta: \(\boxed{120}\).
Exercício 2
De quantas formas 6 alunos podem se sentar em 6 cadeiras em fila?
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Resposta: \(\boxed{720}\).
Exercício 3
Quantos anagramas podem ser formados com as letras M, A, T e E?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{24}\).
Exercícios de Permutação — Enunciados e Soluções
A seguir, uma seleção de exercícios clássicos de Permutação Simples, muito comuns em livros, vestibulares e concursos.
Exercício 4
Efetue os cálculos:
a) \(P_7\)
Ver solução
Resposta: \(\boxed{5040}\).
b) \(A_{8,5}\)
Ver solução
Resposta: \(\boxed{6720}\).
c) \(P_7 – P_5\)
Ver solução
Resposta: \(\boxed{4920}\).
d) \(\dfrac{P_{12}}{P_{10}}\)
Ver solução
Resposta: \(\boxed{132}\).
e) \(P_3 \cdot P_6\)
Ver solução
Resposta: \(\boxed{4320}\).
Exercício 5 — Anagramas
a) Quantos anagramas tem a palavra AMOR?
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Resposta: \(\boxed{24}\) anagramas.
b) Quantos anagramas tem a palavra LUCRO?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{120}\) anagramas.
c) Quantos anagramas tem a palavra TRIÂNGULO?
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A palavra possui 9 letras distintas.
\[ P_9 = 9! = 362880 \]Resposta: \(\boxed{362880}\) anagramas.
Exercício 6
Um restaurante funciona de segunda a sábado e possui um cardápio diferente para cada dia. O dono deseja trocar a ordem dos cardápios apenas permutando os existentes.
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São 6 dias distintos, logo:
\[ P_6 = 6! = 720 \]Como a ordem original não conta como mudança:
\[ 720 – 1 = 719 \]Resposta: \(\boxed{719}\) maneiras.
Exercício 7
Considere todas as palavras de 5 letras formadas com A, B, R, O e D, sem repetição.
a) Quantas palavras podem ser formadas?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{120}\).
b) Quantas começam com a letra R?
Ver solução
Fixando R na primeira posição:
\[ P_4 = 4! = 24 \]Resposta: \(\boxed{24}\).
c) Quantas terminam em vogal?
Ver solução
Há 2 vogais (A e O). Para cada uma:
\[ 2 \cdot 4! = 2 \cdot 24 = 48 \]Resposta: \(\boxed{48}\).
Exercício 8
Quatro frigoríficos são fiscalizados mensalmente, variando a ordem das inspeções. Durante quantos meses é possível realizar esse procedimento sem repetir a ordem?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{24}\) meses.
Exercício 9
Ao ordenar alfabeticamente todos os anagramas da palavra PERMUTA, qual é a posição dessa palavra na lista?
Ver solução
Aplicando a técnica de ordenação lexicográfica com permutações:
Resposta: \(\boxed{2340^\text{ª}}\) posição.
Conexões importantes
A permutação simples está diretamente relacionada ao número binomial e ao Triângulo de Pascal, que surgem quando começamos a restringir a ordem ou a quantidade de elementos escolhidos.
Uma sequência eficiente de estudo é: PFC → Fatorial → Arranjo → Permutação → Combinação.
Permutação Simples no ENEM e concursos
Em provas, a permutação simples aparece em situações como filas, ordenação, anagramas, rankings completos e organização de pessoas ou objetos distintos. Para aprofundar: Análise Combinatória — Guia Completo .
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