Quando estudamos Permutações Simples , trabalhamos somente com conjuntos em que todos os elementos são distintos. Porém, em muitas questões de prova, aparecem palavras com letras repetidas, conjuntos com objetos idênticos ou arranjos em que alguns itens são iguais. Nesses casos, precisamos usar as permutações com repetição.
Neste artigo você vai aprender:
- o que são permutações com repetição;
- a fórmula geral \( \dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!} \);
- como aplicá-la em situações clássicas de prova;
- exemplos passo a passo;
- uma lista de exercícios com soluções em abre e fecha.
Revisar antes ajuda muito!
Se você ainda não se sente seguro com o conceito de permutação simples, vale voltar ao artigo Permutações Simples – Fórmula e Exemplos para reforçar a ideia de \(n!\) antes de avançar para a presença de elementos repetidos.
O que são permutações com repetição?
Em termos gerais, uma permutação é um rearranjo dos elementos de um conjunto. Quando existem elementos iguais entre si, não faz sentido contar como diferentes duas disposições que mudam apenas a posição de elementos idênticos. Surge então a necessidade de “corrigir” a contagem do \(n!\) dividindo pelos rearranjos internos de cada grupo de elementos iguais.
Considere um conjunto com \(n\) elementos, mas com repetições: existem \(n_1\) elementos de um tipo, \(n_2\) elementos de outro tipo, …, \(n_k\) elementos de um k-ésimo tipo, de forma que:
\[ n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n. \]
O número de permutação com repetição desses elementos é dado por:
\[ P = \dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!} \]
Isto é, calculamos \(n!\) como se todos os elementos fossem distintos e, em seguida, dividimos pelo fatorial do número de repetições de cada tipo.
Exemplos resolvidos – Permutações com repetição
A palavra ANA tem 3 letras no total:
- A aparece 2 vezes;
- N aparece 1 vez.
Logo, \(n = 3\), \(n_1 = 2\) (letras A) e \(n_2 = 1\) (letra N).
Usando a fórmula da permutação com repetição:
\[ P = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} = \dfrac{6}{2} = 3 \]
Assim, existem 3 anagramas: ANA, AAN, NAA.
A palavra ARARA tem 5 letras:
- A aparece 3 vezes;
- R aparece 2 vezes.
Então, \(n = 5\), \(n_1 = 3\) (A) e \(n_2 = 2\) (R).
Aplicando a fórmula:
\[ P = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \]
\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]
\[ 3! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12 \]
\[ P = \dfrac{120}{12} = 10 \]
Logo, existem 10 anagramas diferentes da palavra ARARA.
1) BRASIL
A palavra BRASIL tem 6 letras todas distintas (B, R, A, S, I, L).
Assim, é um caso de permutação simples :
\[ P = 6! = 720 \]
2) BRASÍLIA
Já a palavra BRASÍLIA (ignorando o acento para efeito de contagem) tem 8 letras,
com repetição da letra A:
- A aparece 3 vezes;
- as demais letras (B, R, S, I, L) são distintas.
Logo, \(n = 8\), \(n_1 = 3\) para as letras A, e os demais contam como \(1!\).
\[ P = \dfrac{8!}{3!} \]
\[ 8! = 40320 \quad\text{e}\quad 3! = 6 \]
\[ P = \dfrac{40320}{6} = 6720 \]
Portanto, há 6720 permutações distintas da palavra BRASÍLIA.
Quando usar permutações com repetição?
Para identificar se um problema envolve permutações com repetição, verifique:
- Você está usando todos os elementos disponíveis?
- Existem elementos idênticos (letras repetidas, objetos iguais)?
- A ordem importa (trocar a posição importa para diferenciar os casos)?
Quando a resposta é “sim” e há repetições, quase sempre a fórmula \(\dfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots}\) será a ferramenta correta.
Se todos os elementos forem distintos, você volta ao caso de permutações simples . Se nem todos os elementos são usados, é provável que esteja diante de um problema de arranjos ou combinações.
Lista de exercícios – Permutações com repetição
Resolva os exercícios a seguir aplicando a fórmula de permutações com repetição. Depois, confira as soluções no sistema de abre e fecha.
Quantos anagramas distintos podem ser formados com a palavra MAMA?
A palavra MAMA tem 4 letras:
- M aparece 2 vezes;
- A aparece 2 vezes.
Logo, \(n = 4\), \(n_1 = 2\) (M), \(n_2 = 2\) (A).
\[ P = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{24}{2 \cdot 2} = \dfrac{24}{4} = 6 \]
Portanto, existem 6 anagramas distintos da palavra MAMA.
Quantos anagramas diferentes podem ser formados com a palavra COCO?
A palavra COCO tem 4 letras:
- C aparece 2 vezes;
- O aparece 2 vezes.
Assim, \(n = 4\), \(n_1 = 2\), \(n_2 = 2\).
\[ P = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]
Logo, existem 6 anagramas diferentes da palavra COCO.
Quantos anagramas distintos podem ser formados com a palavra BANANA?
A palavra BANANA tem 6 letras:
- A aparece 3 vezes;
- N aparece 2 vezes;
- B aparece 1 vez.
Logo, \(n = 6\), \(n_1 = 3\) (A), \(n_2 = 2\) (N), \(n_3 = 1\) (B).
\[ P = \dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} \]
\[ 6! = 720,\quad 3! = 6,\quad 2! = 2 \]
\[ P = \dfrac{720}{6 \cdot 2} = \dfrac{720}{12} = 60 \]
Portanto, existem 60 anagramas distintos da palavra BANANA.
Em uma bandeira, serão dispostas em linha 8 faixas verticais: 3 faixas vermelhas idênticas, 3 azuis idênticas e 2 verdes idênticas. De quantas maneiras diferentes as faixas podem ser organizadas?
Temos ao todo 8 faixas:
- 3 vermelhas;
- 3 azuis;
- 2 verdes.
Assim, \(n = 8\), \(n_1 = 3\), \(n_2 = 3\), \(n_3 = 2\).
\[ P = \dfrac{8!}{3! \cdot 3! \cdot 2!} \]
\[ 8! = 40320,\quad 3! = 6,\quad 2! = 2 \]
\[ P = \dfrac{40320}{6 \cdot 6 \cdot 2} = \dfrac{40320}{72} = 560 \]
Logo, as faixas podem ser organizadas de 560 maneiras diferentes.
Considere todos os números de 5 algarismos que podem ser formados usando exatamente os dígitos 1, 1, 1, 2 e 2. Quantos números distintos podem ser formados?
Temos 5 posições e os dígitos:
- três algarismos 1;
- dois algarismos 2.
Logo, \(n = 5\), \(n_1 = 3\) (uns), \(n_2 = 2\) (dois).
\[ P = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \]
\[ 5! = 120,\quad 3! = 6,\quad 2! = 2 \]
\[ P = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = \dfrac{120}{12} = 10 \]
Portanto, há 10 números distintos que podem ser formados com os dígitos 1, 1, 1, 2 e 2.
Próximos passos em Análise Combinatória
Agora que você já domina a fórmula de permutações com repetição e sabe quando aplicá-la, está pronto para avançar para arranjos e combinações, construindo uma visão completa de Análise Combinatória.
Para organizar o estudo em forma de trilha, você pode seguir esta ordem sugerida:
- Revisar Introdução à Contagem (regra do produto e da soma);
- Estudar Permutações Simples ;
- Fixar Permutações com Repetição (este artigo);
- Seguir para arranjos, combinações e aplicações em probabilidade.
Combine essa teoria com listas de questões comentadas, como as do pacote 10 eBooks de Matemática para Concursos , e com o Curso Matemática Básica , para transformar o conteúdo em prática constante.
