Pirâmide Hexagonal – Fórmulas e 15 Situações-Problema (com gabarito)
Estude pirâmide hexagonal com teoria objetiva, fórmulas essenciais, exemplo resolvido e 15 problemas contextualizados com soluções passo a passo. Agora com legenda de símbolos e enunciados que nomeiam claramente cada grandeza.
Legenda de símbolos (use nas fórmulas abaixo)
Resumo teórico
Na pirâmide hexagonal regular a base é um hexágono regular de lado \(a\) (perímetro \(P=6a\)); o apótema do hexágono é \(r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\); o apótema da pirâmide é \(m\); a altura da pirâmide é \(h\).
Área da base: \(A_b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2=\dfrac{P\cdot r}{2}\)
Área lateral: \(A_l=\dfrac{P\cdot m}{2}=3am\)
Área total: \(A_t=A_b+A_l\)
Volume: \(V=\dfrac{1}{3}A_bh\)
Relação: \(m^2=h^2+r^2\Rightarrow h=\sqrt{m^2-r^2}\)
Exemplo resolvido
Exemplo. Em uma pirâmide hexagonal regular com lado do hexágono da base \(a=6\ \text{cm}\) e altura da pirâmide \(h=10\ \text{cm}\), calcule o volume.
\(A_b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 6^2=54\sqrt{3}\ \text{cm}^2\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot10=\mathbf{180\sqrt{3}}\ \text{cm}^3.\)
15 Situações-Problema (múltipla escolha)
Use as fórmulas acima. Onde indicado “aprox.”, considere \(\sqrt{3}\approx1{,}732\).
Q1 – Azulejo base
Um azulejo hexagonal regular com lado do hexágono da base \(a=10\ \text{cm}\) será a base de uma mini-pirâmide decorativa. Qual é \(A_b\)?
- \(120\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
- \(150\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
- \(75\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
- \(100\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot100=\mathbf{150\sqrt{3}}\ \text{cm}^2\).
Gabarito: B
Q2 – Abajur piramidal
Um abajur em forma de pirâmide hexagonal tem lado da base \(a=8\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=15\ \text{cm}\). Qual é a área lateral a ser revestida?
- \(240\ \text{cm}^2\)
- \(300\ \text{cm}^2\)
- \(360\ \text{cm}^2\)
- \(420\ \text{cm}^2\)
\(A_l=3am=3\cdot8\cdot15=\mathbf{360\ \text{cm}^2}\).
Gabarito: C
Q3 – Lembrança de acrílico
Uma lembrança 3D em forma de pirâmide hexagonal tem lado da base \(a=5\ \text{cm}\) e altura da pirâmide \(h=12\ \text{cm}\). Qual é o volume?
- \(225\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
- \(150\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
- \(100\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
- \(75\sqrt{3}\ \text{cm}^3\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot25=\frac{75\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V=\frac{1}{3}\cdot\frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot12=\mathbf{150\sqrt{3}}\ \text{cm}^3.\)
Gabarito: B
Q4 – Teto de vidro
Um teto em forma de pirâmide hexagonal regular tem lado da base \(a=9\ \text{m}\) e apótema da pirâmide \(m=13\ \text{m}\). Quantos m² de vidro são necessários nas faces laterais?
- \(270\)
- \(312\)
- \(351\)
- \(378\)
\(A_l=3am=3\cdot9\cdot13=\mathbf{351\ \text{m}^2}\).
Gabarito: C
Q5 – Reservatório de água
Um reservatório em pirâmide hexagonal tem lado da base \(a=2\ \text{m}\) e altura da pirâmide \(h=4\ \text{m}\). Qual é a capacidade em litros (aprox.)? Considere \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}\).
- \(13.856\ \text{L}\)
- \(12.000\ \text{L}\)
- \(6.928\ \text{L}\)
- \(15.588\ \text{L}\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot4=6\sqrt{3}\). \(V=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3}\cdot4=8\sqrt{3}\approx 13{,}856\ \text{m}^3\Rightarrow \mathbf{13.856\ \text{L}}\).
Gabarito: A
Q6 – Altura a partir do apótema
Numa cobertura piramidal, o lado da base é \(a=12\ \text{cm}\) e o apótema da pirâmide é \(m=20\ \text{cm}\). Estime a altura da pirâmide \(h\).
- \(16{,}0\ \text{cm}\)
- \(17{,}1\ \text{cm}\)
- \(18{,}0\ \text{cm}\)
- \(20{,}0\ \text{cm}\)
\(r=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot12=6\sqrt{3}\). \(h=\sqrt{m^2-r^2}=\sqrt{400-108}=\sqrt{292}\approx \mathbf{17{,}1\ \text{cm}}\).
Gabarito: B
Q7 – Maquete em escala
Uma maquete é feita na escala \(1:3\) de uma pirâmide real. Se o volume do modelo é \(200\ \text{cm}^3\), determine o volume da pirâmide real.
- \(600\ \text{cm}^3\)
- \(1.800\ \text{cm}^3\)
- \(5.400\ \text{cm}^3\)
- \(18.000\ \text{cm}^3\)
Volumes escalam com \(k^3\). \(k=3\Rightarrow V_r=3^3\cdot200=\mathbf{5.400\ \text{cm}^3}\).
Gabarito: C
Q8 – Custo do papel
Para montar uma pirâmide com lado da base \(a=7\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=11\ \text{cm}\), usa-se apenas as faces laterais. Se o papel custa R$ 0,05 por cm², qual é o custo?
- R$ 9,24
- R$ 10,10
- R$ 11,55
- R$ 12,10
\(A_l=3am=3\cdot7\cdot11=231\Rightarrow \text{custo}=0{,}05\cdot231=\mathbf{R\$\,11,55}\).
Gabarito: C
Q9 – Área total do troféu
Um troféu em pirâmide hexagonal tem lado da base \(a=6\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=10\ \text{cm}\). Qual é a área total?
- \(180\sqrt{3}+180\ \text{cm}^2\)
- \(108\sqrt{3}+180\ \text{cm}^2\)
- \(108\sqrt{3}+120\ \text{cm}^2\)
- \(54\sqrt{3}+180\ \text{cm}^2\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot36=54\sqrt{3}\), \(A_l=3\cdot6\cdot10=180\Rightarrow A_t=\mathbf{54\sqrt{3}+180}\ \text{cm}^2.\)
Gabarito: D
Q10 – Altura via volume
Uma peça sólida em pirâmide hexagonal tem lado da base \(a=9\ \text{cm}\) e volume \(V=405\sqrt{3}\ \text{cm}^3\). Determine a altura da pirâmide \(h\).
- \(5\ \text{cm}\)
- \(10\ \text{cm}\)
- \(15\ \text{cm}\)
- \(20\ \text{cm}\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot81=\frac{243\sqrt{3}}{2}\). \(405\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{243\sqrt{3}}{2}\cdot h\Rightarrow h=\mathbf{10\ \text{cm}}\).
Gabarito: B
Q11 – Revestindo a base
Será revestida apenas a base de uma pirâmide cujo lado da base é \(a=14\ \text{cm}\). O material custa R$ 0,12 por cm². Qual o custo (aprox.)?
- R$ 60,50
- R$ 61,07
- R$ 61,70
- R$ 62,00
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot196=294\sqrt{3}\approx 508{,}94\ \text{cm}^2\Rightarrow \text{custo}\approx0{,}12\cdot508{,}94=\mathbf{R\$\,61,07}\).
Gabarito: B
Q12 – Protótipo com volume alvo
Um protótipo deve ter volume \(V=250\sqrt{3}\ \text{cm}^3\) e lado do hexágono da base \(a=10\ \text{cm}\). Qual deve ser a altura da pirâmide \(h\)?
- \(4\ \text{cm}\)
- \(5\ \text{cm}\)
- \(6\ \text{cm}\)
- \(7{,}5\ \text{cm}\)
\(A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=150\sqrt{3}\Rightarrow 250\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot150\sqrt{3}\cdot h\Rightarrow h=\mathbf{5\ \text{cm}}\).
Gabarito: B
Q13 – Descobrindo o apótema
Numa cobertura, o lado da base é \(a=16\ \text{cm}\) e a altura da pirâmide é \(h=18\ \text{cm}\). Calcule o apótema da pirâmide \(m\).
- \(21{,}0\ \text{cm}\)
- \(22{,}0\ \text{cm}\)
- \(22{,}7\ \text{cm}\)
- \(23{,}5\ \text{cm}\)
\(r=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot16=8\sqrt{3}\). \(m=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{18^2+(8\sqrt{3})^2}=\sqrt{324+192}=\sqrt{516}\approx\mathbf{22{,}7\ \text{cm}}\).
Gabarito: C
Q14 – Escala e custo
A pirâmide A (modelo) tem lado da base \(a=5\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(m=9\ \text{cm}\). A pirâmide B é 4 vezes maior em cada dimensão. Se o custo do material lateral é R$ 0,03/cm², qual o custo para B?
- R$ 48,60
- R$ 54,00
- R$ 59,40
- R$ 64,80
\(A_{l,A}=3am=135\). Áreas escalam com \(k^2=16\Rightarrow A_{l,B}=2160\ \text{cm}^2\). Custo \(=0{,}03\cdot2160=\mathbf{R\$\,64,80}\).
Gabarito: D
Q15 – Corte paralelo (tronco)
De uma pirâmide hexagonal obtém-se um tronco cortando por um plano paralelo à base. Se a piramidinha removida é uma redução linear de razão \(1:3\) em relação à original, qual a fração do volume removido?
- \(1/3\)
- \(1/9\)
- \(1/27\)
- \(8/27\)
Volumes de sólidos semelhantes variam com o cubo da razão: \((1/3)^3=\mathbf{1/27}\).
Gabarito: C
