1) O que é a planificação do paralelepípedo?

É a representação, em uma única figura plana, de todas as faces do paralelepípedo, dispostas de modo que seja possível recortar e dobrar para reconstruir o sólido. No paralelepípedo retângulo com arestas \(a\), \(b\), \(c\), as faces são retângulos:

• 2 faces \(a\times b\) (bases opostas);
• 2 faces \(a\times c\);
• 2 faces \(b\times c\).

Existem várias planificações possíveis (diferentes “arranjos” dos 6 retângulos), mas todas têm as mesmas áreas somadas.

2) Como identificar medidas na rede

• Escolha um retângulo para ser a base (por ex., \(a\times b\)).
• As faces laterais adjacentes à base terão uma dimensão igual à altura \(c\).
• Os pares opostos são congruentes: meça uma face e “duplique” na soma da área.

3) Fórmulas obtidas a partir da planificação

4) Exemplos resolvidos (contas na vertical)

1. Enunciado. Um paralelepípedo retângulo tem \(a=8\ \text{cm}\), \(b=5\ \text{cm}\) e \(c=3\ \text{cm}\). Calcule a área total a partir da planificação.

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   $$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(8\cdot5+8\cdot3+5\cdot3)\\ &=2(40+24+15)\\ &=2\cdot79\\ &=\mathbf{158\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

2. Enunciado. A planificação mostra uma faixa lateral contínua (perímetro da base) com comprimento \(2(a+b)\) e altura \(c=12\ \text{cm}\). Se \(a=10\ \text{cm}\) e \(b=6\ \text{cm}\), calcule a área lateral.

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   $$\begin{aligned} A_l&=2c(a+b)\\ &=2\cdot12\cdot(10+6)\\ &=24\cdot16\\ &=\mathbf{384\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

3. Enunciado. A rede tem duas bases \(a\times b\) com \(a=30\ \text{cm}\) e \(b=20\ \text{cm}\), e quatro retângulos laterais medindo \(c\times a\) e \(c\times b\) com \(c=50\ \text{cm}\). Encontre \(A_t\) e confirme que ela coincide com a soma das áreas dos 6 retângulos.

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   Pelo modelo \(A_t=2(ab+ac+bc)\):

   $$\begin{aligned} A_t&=2(30\cdot20+30\cdot50+20\cdot50)\\ &=2(600+1500+1000)\\ &=2\cdot3100\\ &=\mathbf{6200\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

   Somando face a face na rede:

   $$\begin{aligned} 2(ab)&=2\cdot(30\cdot20)=1200\\ 2(ac)&=2\cdot(30\cdot50)=3000\\ 2(bc)&=2\cdot(20\cdot50)=2000\\ \text{soma}&=1200+3000+2000=\mathbf{6200\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

5) Exercícios (com solução em abre/fecha)

1. Na planificação de um paralelepípedo retângulo, as bases têm \(12\ \text{cm}\times 9\ \text{cm}\) e a altura é \(7\ \text{cm}\). Encontre \(A_l\) e \(A_t\).

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   $$\begin{aligned} A_l&=2c(a+b)\\ &=2\cdot7\cdot(12+9)\\ &=14\cdot21\\ &=294\ \text{cm}^2\\[6pt] A_t&=A_l+2ab\\ &=294+2(12\cdot9)\\ &=294+2\cdot108\\ &=294+216\\ &=\mathbf{510\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

2. Uma rede tem quatro retângulos \(c\times a\) e \(c\times b\) com \(c=15\ \text{cm}\), \(a=10\ \text{cm}\), \(b=6\ \text{cm}\). Qual é a área apenas da faixa lateral contínua?

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   $$\begin{aligned} A_{\text{faixa}}&=P_{\text{base}}\cdot c\\ &=2(a+b)\cdot c\\ &=2(10+6)\cdot15\\ &=32\cdot15\\ &=\mathbf{480\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

3. Sabendo que a área total da planificação é \(A_t=1{,}58\ \text{m}^2\) e que \(a=0{,}8\ \text{m}\), \(b=0{,}5\ \text{m}\), determine \(c\) (use \(A_t=2(ab+ac+bc)\)).

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   $$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ 1{,}58&=2(0{,}8\cdot0{,}5+0{,}8\cdot c+0{,}5\cdot c)\\ 1{,}58&=2(0{,}40+1{,}3c)\\ 1{,}58&=0{,}80+2{,}6c\\ 2{,}6c&=1{,}58-0{,}80\\ 2{,}6c&=0{,}78\\ c&=\dfrac{0{,}78}{2{,}6}\\ c&=\mathbf{0{,}30\ \text{m}} \end{aligned}$$

6) Perguntas frequentes

8) Materiais do blog