Pontos Notáveis do Triângulo
Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro — definições, e exercícios resolvidos com passos em linhas separadas.
O que são “pontos notáveis”?
Chamamos de pontos notáveis do triângulo os pontos definidos pela concorrência (interseção) de segmentos ou retas especiais. Os quatro clássicos são:
- Baricentro (G): encontro das medianas. Medianas e baricentro.
- Incentro (I): encontro das bissetrizes internas. Bissetrizes e incentro.
- Circuncentro (O): encontro das mediatrizes dos lados. Base de congruência.
- Ortocentro (H): encontro das alturas. Alturas e ortocentro.
Cada ponto notável tem interpretação geométrica (centro de massa, círculo inscrito, círculo circunscrito, etc.) e posição que varia conforme o tipo de triângulo.
Baricentro (G) — encontro das medianas
Definição. Interseção das três medianas do triângulo.
Propriedade. Divide cada mediana na razão 2:1 (do vértice para o baricentro é o dobro).
Nota: o baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
Exercício 1 — Verdadeiro ou falso (conceitos)
I) O baricentro é sempre interno. II) É o encontro das mediatrizes. III) É equidistante dos vértices. Assinale a correta (A) I (B) II (C) III (D) I e III (E) Todas.
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- I) Verdadeira.
- II) Falsa — encontro das mediatrizes define o circuncentro.
- III) Falsa — o ponto equidistante dos vértices é o circuncentro.
Gabarito: A.
Exercício 2 — Baricentro no plano cartesiano
Dado $A(-1,-2)$, $B(3,5)$ e $C(4,-3)$, determine o baricentro $G$.
Ver solução
No plano, o baricentro é a média das coordenadas:
Gabarito: $G(2,0)$.
Leitura: medianas e baricentro • exercícios
Incentro (I) — encontro das bissetrizes internas
Definição. Interseção das três bissetrizes internas.
Propriedade. É equidistante dos lados (centro da circunferência inscrita).
Exercício 1 — Raio da inscrita em triângulo retângulo
Num triângulo retângulo com catetos 9 e 12, determine o raio $r$ da inscrita.
Ver solução
Gabarito: $r=3$.
Exercício 2 — Triângulo 13–14–15
Para lados $13$, $14$ e $15$, calcule o raio $r$ do círculo inscrito.
Ver solução
Gabarito: $r=4$.
Leitura: bissetrizes e incentro
Circuncentro (O) — encontro das mediatrizes
Definição. Interseção das mediatrizes dos lados.
Propriedade. É equidistante dos vértices (centro da circunferência circunscrita).
Exercício 1 — Triângulo retângulo (coordenadas)
Considere $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(0,6)$. Determine $O$ e o raio $R$.
Ver solução
Gabarito: $O(4,3)$ e $R=5$.
Exercício 2 — Triângulo equilátero
Num equilátero de lado $a=6$, determine $R$.
Ver solução
Gabarito: $R=2\sqrt{3}$.
Ortocentro (H) — encontro das alturas
Definição. Interseção das retas-suporte das alturas.
Posição. Acutângulo: interno; Retângulo: o vértice do ângulo reto; Obtusângulo: externo.
Exercício 1 — Triângulo retângulo
Com $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$ (ângulo reto em $A$), determine $H$.
Ver solução
Gabarito: $H(0,0)$.
Exercício 2 — Triângulo equilátero
Num equilátero de lado $a$, mostre que $H$ coincide com os demais centros e calcule a distância desse ponto a cada lado.
Ver solução
Gabarito: Centros coincidem e a distância a cada lado é $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Leitura: alturas e ortocentro
Resumo rápido
- Baricentro (G): encontro das medianas; razão 2:1; centro de gravidade.
- Incentro (I): encontro das bissetrizes internas; equidistante dos lados; círculo inscrito.
- Circuncentro (O): encontro das mediatrizes; equidistante dos vértices; círculo circunscrito.
- Ortocentro (H): encontro das alturas; posição depende do tipo de triângulo.
Pratique mais: Exercícios – Pontos Notáveis do Triângulo.
