Soma dos Termos de P.G. Finita (sequência geométrica)
Numa progressão geométrica (também chamada de sequência geométrica), a soma dos n primeiros termos — denotada por \(S_n\) — possui uma forma fechada muito útil em provas e concursos.
Fórmula da soma de P.G. finita (q ≠ 1)
$$S_n=\frac{a_1\,(q^{\,n}-1)}{q-1}\qquad \text{ou}\qquad S_n=\frac{a_n\,q-a_1}{q-1}$$ onde \(a_n=a_1\,q^{\,n-1}\).
Caso especial (P.G. constante)
Se \(q=1\), então \(S_n=n\cdot a_1\).
De onde vem a fórmula?
Considere \(S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}\). Multiplique por \(q\) e subtraia: \(qS_n-S_n=(a_1q^n-a_1)\). Assim, \((q-1)S_n=a_1(q^n-1)\Rightarrow S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\) (quando \(q\neq1\)).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Soma de 5 termos
PG com \(a_1=3\) e \(q=2\). Encontre \(S_5\).
\(S_5=\dfrac{3(2^5-1)}{2-1}=\dfrac{3(32-1)}{1}=3\cdot31=93\).
Exemplo 2 — Somando com \(a_n\)
Em uma PG de 6 termos, \(a_1=2\) e \(a_6=64\). Calcule \(S_6\).
Use \(S_n=\dfrac{a_nq-a_1}{q-1}\). Primeiro, \(q=\dfrac{a_6}{a_5}=\sqrt[5]{\dfrac{a_6}{a_1}}=\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}}=\sqrt[5]{32}=2\).
Logo \(S_6=\dfrac{64\cdot2-2}{2-1}=\dfrac{128-2}{1}=126\).
Exemplo 3 — Caso \(q=1\)
Se \(a_1=7\) e \(q=1\), então \(S_{12}=?\)
Com razão unitária (PG constante), \(S_{12}=12\cdot7=84\).
Exercícios (múltipla escolha)
1) Soma pedida diretamente
Para \(a_1=5\) e \(q=3\), o valor de \(S_4\) é:
- A) \(5\cdot\dfrac{3^{4}-1}{3-1}\)
- B) \(5\cdot\dfrac{3^{4}-1}{2}\)
- C) \(5\cdot\dfrac{3^{3}-1}{2}\)
- D) \(5\cdot(3^{3})\)
\(S_4=\dfrac{a_1(q^4-1)}{q-1}=5\cdot\dfrac{3^4-1}{2}=5\cdot\dfrac{81-1}{2}=5\cdot40=200\). (A e B são equivalentes; a correta é a forma completa) Resposta: B ✅
2) Encontrar \(q\) e somar
Numa PG, \(a_1=4\) e \(a_5=256\). O valor de \(S_5\) é:
- A) 1020
- B) 1364
- C) 1024
- D) 1284
\(a_5=a_1q^{4}\Rightarrow 256=4q^4\Rightarrow q^4=64\Rightarrow q= \sqrt[4]{64}= \sqrt{8}=2\sqrt{2}\). \(S_5=\dfrac{4(q^5-1)}{q-1}\). Como \(q^5=q\cdot q^4=(2\sqrt{2})\cdot64^{1}=128\sqrt{2}\). \(S_5=\dfrac{4(128\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2}-1}\). Racionalizando: \(S_5=1364\). Resposta: B ✅
3) Usando a forma com \(a_n\)
Se \(a_1=3\), \(a_6=96\) e \(q>1\), então \(S_6\) é:
- A) \( \dfrac{96q-3}{q-1} \)
- B) \( \dfrac{3(q^6-1)}{q-1} \)
- C) Ambas as anteriores
- D) Nenhuma das anteriores
As duas expressões são iguais pela identidade \(a_n= a_1 q^{n-1}\). Resposta: C ✅
4) Caso 0 < q < 1
PG com \(a_1=9\) e \(q=\dfrac13\). Calcule \(S_5\).
- A) \( \dfrac{9\left((\tfrac13)^5-1\right)}{\tfrac13-1} \)
- B) \( \dfrac{9\left(1-(\tfrac13)^5\right)}{1-\tfrac13} \)
- C) Ambas equivalentes
- D) Nenhuma
A) é a fórmula padrão; B) é a mesma após multiplicar numerador/denominador por \(-1\). Valor: \(S_5=\dfrac{9(1-1/243)}{2/3}= \dfrac{9\cdot242/243}{2/3}= \dfrac{2178}{486}=4{,}48\overline{1}\). Resposta: C ✅
5) Encontrar \(n\) a partir de \(S_n\)
PG com \(a_1=2\), \(q=2\) e \(S_n=126\). Determine \(n\).
- A) 5
- B) 6
- C) 7
- D) 8
\(S_n=\dfrac{2(2^{n}-1)}{2-1}=2^{n+1}-2=126\Rightarrow 2^{n+1}=128\Rightarrow n+1=7\Rightarrow n=6\). Resposta: B ✅
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