Se a equação \(ax^2 + bx + c = 0\), com \(a \neq 0\), é equivalente à equação \(a(x+k)^2 + h = 0\), e denotando \(\Delta = b^2 – 4ac\), pode-se afirmar que:
(A) \(k = -\frac{b}{2a}\) e \(h = -\frac{\Delta}{4a}\)
(B) \(k = \frac{b}{2a}\) e \(h = \frac{\Delta}{4a}\)
(C) \(k = \frac{\Delta}{4a}\) e \(h = \frac{b}{2a}\)
(D) \(k = -\frac{\Delta}{4a}\) e \(h = -\frac{b}{2a}\)
(E) \(k = \frac{b}{2a}\) e \(h = -\frac{\Delta}{4a}\)
Solução passo a passo:
Para escrever a equação \(ax^2 + bx + c\) na forma \(a(x+k)^2 + h\), aplicamos o completamento de quadrados:
\[ ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c \]
Adicionando e subtraindo \(\frac{b^2}{4a^2}\) dentro do parêntese:
\[ = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} – \frac{b^2}{4a^2}\right) + c \]
Reescrevendo em forma de quadrado perfeito:
\[ = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c \]
Substituindo \(\Delta = b^2 – 4ac\), temos:
\[ h = c – \frac{b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}, \quad k = \frac{b}{2a} \]
Resposta: (E) \(k = \frac{b}{2a},\ h = -\frac{\Delta}{4a}\)
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