PROFMAT 2023 – Questão 28 | Quadrado Perfeito
Se \(a\) e \(b\) são números inteiros tais que: \[ 2a^2 + 5b^2 + 12a – 40b + 98 = 0 \] então \(a^2 + b^2\) é:
(A) Um número primo.
(B) Divisível por 3.
(C) Divisível por 4.
(D) Um cubo perfeito.
(E) Um quadrado perfeito.
(B) Divisível por 3.
(C) Divisível por 4.
(D) Um cubo perfeito.
(E) Um quadrado perfeito.
Resposta correta: (E) Um quadrado perfeito
Começamos reorganizando a equação: \[ 2a^2 + 5b^2 + 12a – 40b + 98 \] Fazendo **completamento de quadrados**: \[ 2(a^2 + 6a + 9) + 5(b^2 – 8b + 16) = 2(a+3)^2 + 5(b-4)^2 \]
Como a soma é zero, devemos ter: \[ 2(a+3)^2 + 5(b-4)^2 = 0 \] O que implica que: \[ a = -3 \quad \text{e} \quad b = 4 \]
Logo: \[ a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \] que é **um quadrado perfeito**.
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