2. Proposições
No raciocínio lógico, uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas nunca ambos ao mesmo tempo. É a base para o estudo da lógica formal.
2.1 Definição de Proposição
Uma proposição deve ter as seguintes características:
- Ser uma afirmação que expressa um fato.
- Possuir um valor lógico, ou seja, ser verdadeira ou falsa.
Exemplos de proposições:
- “O Brasil é o maior país da América do Sul.” → Proposição verdadeira.
- “2 + 2 = 5.” → Proposição falsa.
- “João foi aprovado no concurso.” → Proposição que depende do contexto, mas ainda pode ser classificada como verdadeira ou falsa.
Exemplos de sentenças que não são proposições:
- “Que dia lindo!” → É uma exclamação.
- “Feche a porta.” → É uma ordem, não tem valor lógico.
- “O que você está fazendo?” → É uma pergunta, não pode ser verdadeira ou falsa.
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2.2 Proposições Simples e Compostas
- Proposição Simples:
É formada por apenas uma afirmação. Exemplo:- “Hoje é quarta-feira.”
- Proposição Composta:
É formada pela combinação de duas ou mais proposições simples, conectadas por conectivos lógicos. Exemplo:- “Hoje é quarta-feira e está chovendo.”
2.3 Conectivos Lógicos
Os conectivos lógicos são usados para combinar proposições simples e formar proposições compostas. Os principais conectivos são:
Conjunção (∧) – E
- Representa a combinação de duas proposições em uma única.A conjunção só é verdadeira quando todas as proposições são verdadeiras.
p: “Hoje é quarta-feira.”
q: “Está chovendo.”
Proposição composta: “Hoje é quarta-feira e está chovendo.” p∧q
Se p for verdadeira e q for verdadeira, então p∧q é verdadeira.
Caso contrário, é falsa.
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Disjunção (∨) – OU
- Representa uma proposição composta em que pelo menos uma das proposições é verdadeira.
p: “Hoje é quarta-feira.”
q: “Está chovendo.”
Proposição composta: “Hoje é quarta-feira ou está chovendo.” p∨q
A disjunção é falsa apenas quando ambas as proposições são falsas.
Disjunção Exclusiva (⊻) – OU…OU
- Indica que apenas uma das proposições é verdadeira, mas não ambas.
“Ou João passou no concurso ou Pedro passou no concurso.”
Condicional (→) – SE…ENTÃO
- Expressa uma relação de implicação lógica entre duas proposições.A condicional é falsa apenas quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa.
- pp: “João estudou.”q: “João passou no concurso.”Proposição composta: “Se João estudou, então ele passou no concurso.” p→q
| p | q | p→q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Bicondicional (↔) – SE E SOMENTE SE
- Representa uma equivalência lógica. É verdadeira apenas quando as duas proposições têm o mesmo valor lógico.
- p: “João passou no concurso. “q: “João estudou muito. “Proposição composta: “João passou no concurso se e somente se ele estudou muito.” p↔q
| p | q | p↔q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
2.4 Exemplos Práticos
Exemplo 1:
Identifique os valores lógicos das proposições a seguir:
- “2 + 2 = 4.”
- “O céu é verde.”
- “Se 2 + 2 = 4, então o céu é azul.”
Resolução:
- A primeira proposição é verdadeira.
- A segunda proposição é falsa.
- A terceira proposição é uma condicional. Como a primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa, a proposição composta é falsa.
Exemplo 2:
Determine o valor lógico da proposição composta:
“Hoje é domingo e o mercado está aberto.”
- p: “Hoje é domingo.” → Falsa (não é domingo).
- q: “O mercado está aberto.” → Verdadeira.
- Proposição: p∧q
Resolução:
A conjunção só é verdadeira se ambas forem verdadeiras. Como p é falsa, a proposição é falsa.
Com esses conceitos e exemplos, o aluno compreende a estrutura das proposições, o uso dos conectivos lógicos e as condições que determinam seus valores lógicos. Isso servirá de base para resolver questões de lógica mais complexas dentro da Matemática.
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