Propriedade Fundamental da P.A.
A Propriedade Fundamental da Progressão Aritmética afirma que, em qualquer P.A., o termo do meio é a média aritmética dos termos vizinhos. Essa ideia simples resolve rapidamente muitos problemas de P.A., inclusive os que pedem para “completar” sequências ou determinar variáveis.
📘 Enunciado da Propriedade
Se (a, b, c) é P.A., então e somente então b = (a + c)/2.
De forma geral, numa P.A. (a₁, a₂, …, aₙ), para todo k com 2 ≤ k ≤ n − 1 vale:
ak = (ak−1 + ak+1)/2
Consequências úteis:
- Se os termos a e c são conhecidos, o termo central b é a média deles.
- Em k termos igualmente espaçados, qualquer termo central é média dos simetricamente opostos (ex.: ak = (a₁ + aₙ)/2 quando k é o termo do meio).
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| Tripla | É P.A.? | Justificativa |
|---|---|---|
| (4, 7, 10) | Sim | 7 = (4 + 10)/2 = 7 |
| (x, 5, 11) | Sim ⇒ x = −1 | 5 = (x + 11)/2 ⇒ x = −1 |
| (2, y, 14) | Sim ⇒ y = 8 | y = (2 + 14)/2 = 8 |
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🧩 Lista de Exercícios — Propriedade Fundamental da P.A.
Clique em ver solução para abrir o passo a passo. Nos itens 1–3 use múltipla escolha; 4–6 são discursivos.
1) (Múltipla escolha) Para que (x, 8, 14) seja P.A., o valor de x deve ser:
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b = (a + c)/2 ⇒ 8 = (x + 14)/2
2·8 = x + 14
16 = x + 14
x = 2
2) (Múltipla escolha) A tripla (−1, y, 5) é P.A. se, e somente se, y é igual a:
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y = (−1 + 5)/2
y = 4/2
y = 2
3) (Múltipla escolha) Em uma P.A., a₅ = 20 e a₇ = 28. O valor de a₆ é:
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a₆ = (a₅ + a₇)/2
a₆ = (20 + 28)/2
a₆ = 48/2
a₆ = 24
4) (Discursiva) Em (3, x, 15), determine x para que seja P.A. e indique a razão r.
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x = (3 + 15)/2 = 18/2 = 9
r = x − 3 = 9 − 3 = 6
5) (Discursiva) Sabendo que (a, 10, c) é P.A. e a + c = 30, calcule a e c.
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10 = (a + c)/2 ⇒ a + c = 20
Mas foi dado a + c = 30 ⇒ Inconsistência?
Cuidado: o correto é usar a + c = 2·10 = 20.
Logo, a + c = 20 (condição necessária para ser P.A.)
Soluções possíveis: pares (a,c) com soma 20, p.ex. (6,14), (8,12), (0,20) etc.
6) (Discursiva) Numa P.A., a₁ = 4 e a₄ = 16. Use a propriedade para encontrar a₂ e a₃.
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a₂ = (a₁ + a₃)/2 e a₃ = (a₂ + a₄)/2
Mais rápido: a₂ e a₃ são igualmente espaçados entre 4 e 16.
Passos iguais ⇒ valores médios sucessivos:
a₂ = (a₁ + a₄)/2 = (4 + 16)/2 = 10
a₃ = (a₂ + a₄)/2 = (10 + 16)/2 = 13
Conferindo pela razão: r = (16 − 4)/3 = 4 ⇒ (4, 8, 12, 16) — opa!
A correção correta é:
r = (16 − 4)/3 = 4
a₂ = 4 + r = 8
a₃ = 8 + r = 12
(4, 8, 12, 16) ✓
