Propriedades da Radiciação com Exemplos e Exercícios
A radiciação é uma operação matemática inversa da potenciação. Compreender suas propriedades permite simplificar expressões e resolver equações com mais agilidade. Veja abaixo as principais propriedades com exemplos variados:
1ª Propriedade – Produto de radicais com mesmo índice
$$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $$
Exemplo 1:
$$ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10} $$
Exemplo 2:
$$ \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $$
2ª Propriedade – Potência de radical
$$ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m} $$
Exemplo 1:
$$ \left(\sqrt[3]{27}\right)^4 = \sqrt[3]{27^4} = 3^4 = 81 $$
Exemplo 2:
$$ \left(\sqrt{5}\right)^2 = \sqrt{25} = 5 $$
3ª Propriedade – Raiz da raiz
$$ \sqrt[n]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[n \cdot p]{a} $$
Exemplo 1:
$$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[12]{7} $$
Exemplo 2:
$$ \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2 $$
4ª Propriedade – Conversão entre índices e expoentes
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} \quad \text{e} \quad \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n/q]{a^{m/q}} $$
Exemplo 1:
$$ \sqrt[4]{6^3} = \sqrt[20]{6^{15}} $$
Exemplo 2:
$$ \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[3]{2^{2}} $$
5ª Propriedade – Raiz de fração
$$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $$
Exemplo 1:
$$ \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{5}{2} $$
Exemplo 2:
$$ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} $$
🧪 Exercícios Resolvidos
📌 Ex. 1 – Produto de raízes: Resolva \( \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{14} \)
Solução:
$$ \sqrt[3]{7 \cdot 14} = \sqrt[3]{98} $$✅ Resposta: \( \boxed{\sqrt[3]{98}} \)
📌 Ex. 2 – Potência da raiz: Resolva \( \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 \)
Solução:
$$ \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4 $$✅ Resposta: \( \boxed{4} \)
📌 Ex. 3 – Raiz da raiz: Resolva \( \sqrt[3]{\sqrt{64}} \)
Solução:
$$ \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2 $$✅ Resposta: \( \boxed{2} \)
📌 Ex. 4 – Raiz de fração: Resolva \( \sqrt[4]{\frac{81}{16}} \)
Solução:
$$ \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} $$✅ Resposta: \( \boxed{\frac{3}{2}} \)
📌 Ex. 5 – Simplifique: \( \sqrt{50} \)
$$ \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$
📌 Ex. 6 – Simplifique: \( \sqrt{18} \)
$$ \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$
📌 Ex. 7 – Simplifique: \( \sqrt[3]{54} \)
$$ \sqrt[3]{54} = 3 \cdot \sqrt[3]{2} $$
📌 Ex. 8 – Simplifique: \( \sqrt{72} \)
$$ \sqrt{72} = 6\sqrt{2} $$
📌 Ex. 9 – Calcule: \( \sqrt[4]{81} \)
$$ \sqrt[4]{81} = 3 $$
📌 Ex. 10 – Simplifique: \( \sqrt{32} \)
$$ \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$
📌 Ex. 11 – Resolva: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} \)
$$ \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6 $$
📌 Ex. 12 – Resolva: \( \sqrt{27} \cdot \sqrt{2} \)
$$ \sqrt{27} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $$
📌 Ex. 13 – Potência da raiz: \( (\sqrt{3})^4 \)
$$ (\sqrt{3})^4 = 9 $$
📌 Ex. 14 – Potência da raiz cúbica: \( (\sqrt[3]{4})^3 \)
$$ (\sqrt[3]{4})^3 = 4 $$
📌 Ex. 15 – Raiz de fração: \( \sqrt{\frac{16}{49}} \)
$$ \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7} $$
📌 Ex. 16 – Raiz cúbica de fração: \( \sqrt[3]{\frac{8}{27}} \)
$$ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} $$
