Propriedades das Potências

Propriedades das Potências: Guia Completo com Exemplos

As potências estão presentes em diversos contextos da Matemática, desde a resolução de questões do ENEM até problemas de concursos e vestibulares. Conhecer as propriedades das potências é essencial para simplificar expressões, resolver equações e avançar em conteúdos como funções exponenciais, logaritmos e progressões geométricas.

O que são potências?

A potência é uma forma de representar multiplicações sucessivas. Quando escrevemos \(a^n\), significa que o número a (base) está sendo multiplicado por ele mesmo n vezes.

Definição \[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{n vezes}} \]

Exemplo: \[ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \]

Principais Propriedades das Potências

As propriedades permitem simplificar expressões e resolver cálculos de forma mais rápida. A seguir, veja cada uma delas:

1) Multiplicação de potências de mesma base

Propriedade \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \]

2) Divisão de potências de mesma base

Propriedade \[ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0) \]

\[ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 \]

3) Potência de potência

Propriedade \[ (a^n)^m = a^{n\cdot m} \]

\[ (3^2)^3 = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729 \]

4) Potência de um produto

Propriedade \[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000 \]

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5) Potência de uma fração

Propriedade \[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) \]

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \]

6) Expoente negativo

Propriedade \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \quad (a \neq 0) \]

\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]

7) Expoente fracionário (radiciação)

Propriedade \[ a^{\tfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a>0,\ n\in\mathbb{N}^{*}) \]

\[ 27^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3 \]

Exercícios Resolvidos

Exercício: Simplifique \(2^5 \cdot 2^3\).

\[ 2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256 \]

Exercício: Simplifique \(\dfrac{3^7}{3^4}\).

\[ \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27 \]

Conclusão

As propriedades das potências são ferramentas fundamentais para simplificar expressões e resolver problemas matemáticos de forma eficiente. Elas aparecem com frequência em conteúdos do ENEM, concursos e provas escolares. Para revisar rapidamente, use nossos mapas mentais e o banco de questões com exercícios comentados.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.