Propriedades das Potências (expoentes reais)
Este guia reúne as **regras essenciais** para trabalhar com potências de base real \(a,b\) e expoentes reais \(x,y\). Elas aparecem com frequência em simplificações algébricas, funções exponenciais e em provas do ENEM e concursos. Veja fórmulas, exemplos e exercícios resolvidos.
Condições usuais: \(a\neq 0\), \(b\neq 0\). Para garantir resultados reais ao lidar com raízes (expoentes fracionários), usa-se \(a>0\).
Fórmulas fundamentais
Produto de potências de mesma base
\[
a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}
\]
\[
3^{2}\cdot 3^{5}=3^{7}=2187
\]
Quociente de potências de mesma base
\[
\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}\qquad (a\neq 0)
\]
\[
\frac{5^{7}}{5^{3}}=5^{4}=625
\]
Potência de um produto
\[
(a\cdot b)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}
\]
\[
(2\cdot 7)^{3}=2^{3}\cdot 7^{3}=8\cdot 343=2744
\]
Potência de um quociente
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}\qquad (b\neq 0)
\]
\[
\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{9^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}=\frac{3}{2}
\]
Potência de potência
\[
(a^{x})^{y}=a^{x\cdot y}
\]
\[
\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{4}=2^{4}=16
\]
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Exercícios Resolvidos
Exercício: Simplifique \( 2^{5}\cdot 2^{-3}\cdot (2^{2})^{3} \).
\[
2^{5}\cdot 2^{-3}\cdot (2^{2})^{3}
=2^{5-3}\cdot 2^{6}
=2^{2}\cdot 2^{6}
=2^{8}=256
\]
Exercício: Calcule \( \left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} \).
\[
\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}
=\frac{27^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}
=\frac{(\sqrt[3]{27})^{2}}{(\sqrt[3]{8})^{2}}
=\frac{3^{2}}{2^{2}}
=\frac{9}{4}
\]
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