1) O que são divisores

Um número inteiro positivo \(d\) é divisor de \(n\) quando a divisão \(n \div d\) é exata (resto zero). Por exemplo, os divisores de \(12\) são \(\{1,2,3,4,6,12\}\).

2) Quantidade de divisores \(D(n)\)

Se a decomposição em primos de \(n\) é \[ n = p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}, \] então o número de divisores de \(n\) é

Exemplo

\(72=2^3\cdot 3^2\Rightarrow D(72)=(3+1)(2+1)=4\cdot 3=12\).

3) Soma dos divisores \(S(n)\)

Com a mesma decomposição, a soma de todos os divisores de \(n\) é dada por:

Exemplo

\(36=2^2\cdot 3^2\Rightarrow S(36)=\dfrac{2^{3}-1}{2-1}\cdot\dfrac{3^{3}-1}{3-1}=7\cdot 13=91\).

4) Pares complementares de divisores

Ordenando os divisores de \(n\), o produto do menor com o maior, do segundo menor com o segundo maior, e assim por diante, é sempre igual a \(n\).

Exemplo

Divisores de \(30\): \(\{1,2,3,5,6,10,15,30\}\). Temos \(1\cdot 30=30\), \(2\cdot15=30\), \(3\cdot10=30\), \(5\cdot6=30\).

5) Perfeitos, abundantes e deficientes

• Perfeito: soma dos divisores próprios (exclui o próprio número) é igual ao número. Ex.: \(6\) (pois \(1+2+3=6\)).
• Abundante: soma dos divisores próprios é maior que o número.
• Deficiente: soma dos divisores próprios é menor que o número.

6) Aplicações práticas e conexões com MMC/MDC

As propriedades dos divisores são base para:

• Cálculo do MDC: encontrar a maior medida para dividir quantidades sem sobra.
• Uso do MMC: sincronizar eventos periódicos e obter denominadores comuns em frações.
• Otimização de cálculo: dominar critérios de divisibilidade e a relação MMC × MDC acelera resoluções em provas.

7) Exercícios propostos

8) Recursos para continuar estudando