Prova Petrobras 2014 – Valor máximo de função mínima

Entendendo o Enunciado

A função é definida por: \[ f(x) = \min(2x – 1,\ x – 2,\ 4 – 2x) \] Devemos encontrar o **maior valor que f(x)** pode assumir, ou seja, o **máximo do menor valor entre essas três expressões para todo \( x \in \mathbb{R} \)**.

Resolução Passo a Passo

1. Encontrar os pontos de troca entre as expressões:
• \( 2x – 1 = x – 2 \Rightarrow x = -1 \)
• \( 2x – 1 = 4 – 2x \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4} \)
• \( x – 2 = 4 – 2x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \)
2. Testar os valores de \( x \) mais relevantes:
• \( x = -1 \): \( f(x) = \min(-3, -3, 6) = -3 \)
• \( x = \frac{5}{4} = 1{,}25 \): \( f(x) = \min(1{,}5, -0{,}75, 1{,}5) = -0{,}75 \)
• \( x = 2 \): \( f(x) = \min(3, 0, 0) = 0 \)
• \( x = 3 \): \( f(x) = \min(5, 1, -2) = -2 \)
• \( x = 0 \): \( f(x) = \min(-1, -2, 4) = -2 \)
3. Melhor valor encontrado: O maior valor que \( f(x) \) atinge é: \[ \boxed{0} \text{ (em } x = 2 \text{)} \]

Resposta Final

Alternativa correta: (C) 0