Qual a relação entre logaritmos e epidemias?

O estudo de epidemias pode ser modelado matematicamente usando funções exponenciais e logaritmos. Essas ferramentas permitem prever o tempo de contaminação de uma população a partir de taxas de crescimento. Vamos analisar um caso prático.

O problema

Em uma cidade com 100 mil habitantes, um vírus começa a se espalhar e o número de contaminados triplica a cada semana. Queremos saber em quanto tempo metade da população (50 mil pessoas) estará contaminada.

Modelagem matemática

O número de contaminados segue a função exponencial:

\( P(t) = 5000 \cdot 3^t \)

onde \(5000\) é o número inicial de infectados e \(t\) é o tempo em semanas.

Precisamos resolver: \[ 5000 \cdot 3^t = 100000 \]

Aplicando logaritmo

Dividindo ambos os lados por 5000:

\( 3^t = 20 \)

Aplicamos logaritmo em ambos os lados:

\( t \cdot \log 3 = \log 20 \)

Logo,

\( t = \dfrac{\log 20}{\log 3} \)

Usando valores aproximados: \(\log 20 \approx 1{,}3010\) e \(\log 3 \approx 0{,}4771\).

\( t \approx \dfrac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}73 \)

Ou seja, em menos de 3 semanas metade da cidade já estaria contaminada.

Exercício Resolvido

Conclusão

Os logaritmos são uma poderosa ferramenta para analisar situações de crescimento acelerado, como epidemias. Eles permitem transformar equações exponenciais em lineares e facilitam a previsão de tempos críticos.