Qual a relação entre logaritmos e epidemias?
O estudo de epidemias pode ser modelado matematicamente usando funções exponenciais e logaritmos. Essas ferramentas permitem prever o tempo de contaminação de uma população a partir de taxas de crescimento. Vamos analisar um caso prático.
O problema
Em uma cidade com 100 mil habitantes, um vírus começa a se espalhar e o número de contaminados triplica a cada semana. Queremos saber em quanto tempo metade da população (50 mil pessoas) estará contaminada.
Modelagem matemática
O número de contaminados segue a função exponencial:
\( P(t) = 5000 \cdot 3^t \)
onde \(5000\) é o número inicial de infectados e \(t\) é o tempo em semanas.
Precisamos resolver: \[ 5000 \cdot 3^t = 100000 \]
Aplicando logaritmo
Dividindo ambos os lados por 5000:
\( 3^t = 20 \)
Aplicamos logaritmo em ambos os lados:
\( t \cdot \log 3 = \log 20 \)
Logo,
\( t = \dfrac{\log 20}{\log 3} \)
Usando valores aproximados: \(\log 20 \approx 1{,}3010\) e \(\log 3 \approx 0{,}4771\).
\( t \approx \dfrac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}73 \)
Ou seja, em menos de 3 semanas metade da cidade já estaria contaminada.
Exercício Resolvido
Quantos dias isso representa?
1 semana = 7 dias → 2,73 semanas ≈ 19 dias. Assim, em menos de 20 dias a epidemia alcançaria metade da população.
Conclusão
Os logaritmos são uma poderosa ferramenta para analisar situações de crescimento acelerado, como epidemias. Eles permitem transformar equações exponenciais em lineares e facilitam a previsão de tempos críticos.
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