Questão 10: Cálculo com potências – fatoração
Enunciado: Determine o valor da expressão:
\[ \left( \frac{3^{12} – 3^{11} – 3^{10}}{3^{11} + 3^{10} + 3^{10}} \right) \]
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Passo 1: Fatorar o numerador:
\( 3^{12} – 3^{11} – 3^{10} \)
Colocando \( 3^{10} \) em evidência:
\[
= 3^{10}(3^2 – 3 – 1) = 3^{10}(9 – 3 – 1) = 3^{10} \cdot 5
\]
Passo 2: Fatorar o denominador:
\( 3^{11} + 3^{10} + 3^{10} = 3^{11} + 2 \cdot 3^{10} \)
Colocando \( 3^{10} \) em evidência:
\[
= 3^{10}(3 + 2) = 3^{10} \cdot 5
\]
Passo 3: Efetuar a divisão:
\[ \frac{3^{10} \cdot 5}{3^{10} \cdot 5} = 1 \]
Passo 4: Multiplicação final:
\( 1 \cdot 1 = 1 \)
Resposta final: \( \boxed{1} \)
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